Аберрация оптических систем

Аберрации, обусловленные широкими пучками лучей

Сферическая аберрация

Предположим, что на оси оптической системы расположена светящаяся точка L, посылаю­щая широкий пучок лучей на оптическую систему (линзу). Для того чтобы яснее проследить за действием различных зон линзы, прикроем ее картонным диском, снабженным небольшими отвер­стиями, расположенными по диаметру диска, как показано на рис. 3.15.

Параксиальный пучок 1 через центральное отверстие дает изо­бражение точки в L'; пучки, проходящие через более удаленные зоны (пучки 2, 3 и т. д.), дадут изображения в точках L", L'", ... Явление можно хорошо наблюдать в запыленном воздухе. Если картон с отверстиями устранить, то пучки, проходящие через про­межуточные зоны, дадут изображения в промежуточных точках, так что точка L изобразится на оси линией L'...L"", а на любом экране, перпендикулярном к оси, получится изображение в виде диска с неоднородным распределением освещенности. Таким обра­зом, при значительной ширине пучка стигматичность изображения не имеет места даже для точки на оси. Этот вид ошибки носит на­звание сферической аберрации, хотя он характерен не только для сфе­рических поверхностей.

За меру сферической аберрации принимают расстояние между L' и L" для соответствующих зон (продольная аберрация). Удоб­ное графическое изображение сферической аберрации дано на рис. 3.15, где положительные δs откладываются вправо от линии АА.

Величина сферической аберрации зависит от кривизны поверх­ностей линзы и показателя преломления, а также от того, какой из поверхностей несимметричная линза обращена к источнику.

Рис. 3.15. Сферическая аберрация и ее графическое изображение

Так, двояковыпуклая линза из крона (п=1,5) с отношением радиу­сов кривизны 1:6, обращенная более выпуклой стороной к парал­лельным лучам, имеет минимальные аберрации. Почти так же хороша плоско-выпуклая линза. Вследствие сферической аберрации светящаяся точка дает на экране изображение в виде небольшого кружка (кружок, рассеяния), освещенного, вообще говоря, нерав­номерно. При перемещении экрана вдоль оптической оси размеры кружка рассеяния и распределение освещенности в нем меняются. Если экран совпадает с плоскостью АА (см. рис. 3.15), т.е. про­ходит через фокус L' параксиальных лучей, то кружок рассеяния имеет вид светлой точки со сравнительно большим и слабым орео­лом; при перемещении экрана от L' к L" размеры ореола уменьша­ются, но освещенность его растет, а диаметр светлой точки увели­чивается; при некотором положении экрана кружок рассеяния имеет наименьшие размеры (примерно в четыре раза меньше, чем в плоскости L') при почти равномерной освещенности; при дальней­шем перемещении экрана наблюдается быстрое расплывание освещенной части.

Отличительной особенностью сферической аберрации является то, что она сохраняется даже при положении светящейся точки на оси системы, когда все остальные аберрации (в монохроматическом свете) исчезают.

Рис. 3.16. Сферическая аберрация исправленной системы

Положительные (собирательные) линзы создают аберрацию, изображенную на рис. 3.15, т.е. s < 0 для всех зон; отрицательные (рассеивающие) линзы имеют аберрацию противоположного знака. Поэтому, комбинируя такие простые линзы, можно значительно исправить сферическую абер­рацию. Соответствующий при­мер изображен на рис. 3.16. Строго говоря, сферическая аберрация может быть впол­не исправлена только для какой-нибудь пары узких зон, и притом лишь для оп­ределенных двух сопряжен­ных точек. Однако практиче­ски исправление может быть весьма удовлетво-рительным даже для двух линзовых систем, упо­мянутых выше. Подобные двухлинзовые системы могут быть очень хорошо исправлены в отношении сферической аберрации. Так, не­большой астрономический объектив с диаметром 80 мм и фокусным расстоянием 720 мм дал максимальное значение s = - 0,011 мм.

Для исправления сферической аберрации зеркал (например, прожекторов) им обычно придают не сферическую форму, а вид параболоида вращения, располагая источник в фокусе; в таких зеркалах при тщательном их выполнении сферическую аберрацию можно сделать очень малой. Хорошо исправленными могут быть отражатели, обе поверхности которых сферические, но раз­ной кривизны; задняя, посеребренная, имеет меньшую кривизну. Отраженный свет испытывает дополнительное преломление в стекле отражателя, который играет роль рассеивающей линзы (тоньше в середине), рассчитанной так, чтобы исправить аберрацию задней поверхности. Такие зеркала употребляются в настоящее время только в небольших сигнальных аппаратах (диаметром не свыше 100 мм).

Рис. 3.17. Кома

Кома

Если светящаяся точка, посылающая широкий пу­чок, находится не на оси системы, то каустика принимает более сложный вид. Покроем линзу экраном, в котором прорезана узкая щель в виде кольца большого диаметра с центром на оси. Светя­щаяся точка L помещена вне оси. Широкий пучок, проходя через систему, дает на экране изображение L в виде довольно сложной асимметричной фигуры (рис. 3.17).

Устранив экран и заставив работать всю линзу, мы в качестве изображения точки получим неравномерно освещенное пятнышко, несколько напоминающее комету с хвостом.

Нередко кома имеет и более сложный вид. Соответствующим под­бором совокупности частей системы кома может быть значительно ослаблена.

Аберрации, обусловленные тонкими вне осевыми наклонными пучками лучей.

Астигматизм наклонных пучков.

Если пу­чок лучей, исходящий из точки, падает на систему, составляя угол с осью, то он теряет гомоцентричность. Для того чтобы яснее пред­ставить себе характер искажения, наблюдающегося в этом случае, введем некоторые дополнительные обозначения. Плоскости, про­ходящие через ось системы, носят название меридиональных плос­костей. Предположим, что центральный луч элементарного пучка (ось пучка) находится в меридиональной плоскости. Тогда из такого пучка можно мысленно выделить плоскую ленточку лучей, лежа­щих в меридиональной плоскости и называемых меридиональными, или плоскую ленточку лучей, расположенных в перпендикулярной плоскости и называемых сагиттальными (рис. 3.18).

Пучки при достаточном наклоне к оси не дают стигматического изображения точки L. Изображением точки L служат две фокальные линии. Одна из них (L_SL_S, см. рис. 3.18) образуется в результате преломления сагиттальных лучей и ориентирована в меридиональной плоскости; другая (L_mL_m), получающаяся при преломлении меридиональных лучей, ориентирована в перпенди­кулярной плоскости. Фокальные плоскости (I и III), в которых лежат эти два прямолинейных изображения, расположены на разных расстояниях от главной плоскости системы. Таким образом, и в этом случае точка L изображается кружком рассеяния, форма которого зависит от положения экрана. В плоскости I фигура рассеяния имеет вид отрезка прямой, лежащей перпендикулярно к меридиональной плоскости; в плоскости III фигура рассеяния вырождается в прямую, расположенную в меридиональной плоскости; в плоскости  II, лежащей посредине между I и III, фигура рассеяния имеет вид круга; в промежуточных плоскостях - вид эллипсов различного эксцентриситета.

Рис. 3.18. Астигматизм наклонных пучков

Если источ-ником служит не точка, а отрезок линии, то изо­бражение ее может быть вполне удов-летворительным в одной из плос-костей I или III в зависимости от ориентировки изо-бражаемого отрез-ка. Изображения отрезков, расположенных в меридиональ­ных плоскостях, будут резкими в плоскости III, где изображения каждой точки ориентированы в меридиональной плоскости, и сле­довательно, сольются в удовлетворительное изображение всей линии; отрезки в виде дуг (колец), лежащие в плоскости, перпендикуляр­ной к оси (и следовательно, пересекающие все меридиональные плоскости под прямым углом), дадут по той же причине удовлетво­рительное изображение в плоскости I. Сетка, удобная для демон­страции описанных явлений, изображена в левом углу рис. 3.18. Расположив сетку так, чтобы точка О лежала на оси, мы получим в плоскости I более или менее удовлетворительное изображение концентрических окружностей, а в плоскости III - радиальных линий. Радиальные и круговые линии центральной части сетки изображаются одинаково резко в одной плоскости.

Искривление плоскости изображения

Изображение сетки, показанное на рис. 3.18, позволяет наблюдать одновременно с потерей стигматичности еще одну особенность, связанную с наклонными пучками. При определенном положении экрана резкость изображения разных колец (или резкость радиусов вдоль своей длины) может быть различна. Перемещая экран, мы можем улучшить изображение одних участков, ухудшая изображение других. Этот опыт показывает, что изображение представляет собой не плоскость, перпендикулярную к оптической оси, а изогну­тую поверхность, причем степень изгиба для меридиональных пучков и для пучков сагиттальных различна. Рис. 3.19 показывает характер этого искривления: QO - ось системы, МН₁ - оси наклон­ных пучков, OS - плоскость неискривленного изображения, соот­ветствующая параксиальному пучку, OS_m и OS_S - искривленные поверхности изображения, обусловленные меридиональными и са­гиттальными наклонными пучками соответственно. OS_m и OS_S,

конечно, касаются линии OS в точке О, т.е. в параксиальной об­ласти.

Рис. 3.19. Искривление плоскости изображение

Астигматизм системы исправляется путем специального под­бора конструктивных элементов системы, т. е. радиусов поверхно­стей, показателей преломления и расстояний между поверхностями.

Одновременно с унич-тожением астигматизма обычно стремятся устранить и искривление плоскости изображения, что особенно важно для фотографии, где требуется получение резкого изображе­ния на плоской светочувствительной поверхности. Хорошие фото­графические объективы этого типа - анастигматы - имеют зна­чительное поле зрения (свыше 50°) и дают плоское изображение.

Дисторсия изображений

Когда лучи, посыла­емые предметом в систему, составляют большие углы с ее оптической осью, то изображение, даваемое даже узкими пучками лучей, может обнаруживать еще один вид искажения. Оно обусловлено тем, что увеличение V такой системы при больших углах зависит от угла между осями пучка и системы и, следовательно, меняется от центра изображения к периферии. Этот вид аберрации носит название дисторсии и ведет к тому, что изображения оказываются не подобными предмету. Типичные виды дисторсии (подушкообраз­ная и бочкообразная) приведены на рис. 3.20.

Рис. 3.20. Дисторсия изображенияа - неискаженное изображение, б - подушкообразная дисторсия, в - бочкообразная дисторсия.

Дисторсия обычно не очень вредит наблюдению, но становится очень опасной, если при помощи оптической системы производятся съемки, предназначенные для проме-ров (например, в геодезии или, особенно, в аэрофото-грамметрии). Поэтому объек-тивы для таких работ очень тщательно исправляются на дисторсию. Так, например, хороший объектив, рассчитанный М. М. Русиновым, предназначенный для картографических аэросъемок, при поле зрения в 120° дает ошибку в определении направления на объект, не превышающую 10".

Аберрации, обусловленные зависимостью показателя преломления от длины волны (хроматические аберрации)

Зависимость показателя преломления от цвета

При всех предшествующих построениях лучевой оптики мы считали показатель преломления величиной постоянной, тогда как в действительно­сти он зависит от цвета, т.е. от длины волны света.

Первые эксперименталь­ные исследования этой зави­симости принадлежат Ньюто­ну, который произвел (1672г.) знаменитый опыт с разложе­нием белого света на цвета (спектр) при преломлении в призме. Наблюдение преломления в призме и доныне остается одним из удобных способов определения показателя преломления вещества призмы и изучения зависимости показателя преломления от цвета (дисперсия).

Рис. 3.21. Преломление в линзе

Преломление в призме

Пусть преломляющий угол призмы равен (рис. 3.21); угол отклонения луча угол КВС = D. Из треу­гольника MBN имеем ;

из треугольника MNP находим

.

Поэтому

.

При симметричном ходе лучей () угол D принимает минималь­ное значение. В этом случае

(1)

Последнее соотношение обычно применяется для определения п по измеренным с помощью гониометра углам и D_min.

Мы рассматривали ход лучей, плоскость падения которых пер­пендикулярна к ребрам призмы; эта плоскость носит название главного сечения призмы. Если лучи падают под углом к главному сечению, то они преломляются тем сильнее, чем   больший   угол составляет плоскость падения с главным сечением.

Зависимость п от l (дисперсия)

В прозрачных средах пока­затель преломления п растет с уменьшением длины волны . Для прозрачных тел зависимость (в видимой части спектра) имеет вид

(2)

Для  многих тел можно ограничиться  соотношением

(3)

(формула Коши); а, b, с, ... - постоянные, характеризующие ве­щество. Для окрашенных тел формула Коши теряет силу, нару­шается даже ход зависимости п от .

Мерой дисперсии служит разность показателей преломления () для различных значений  и . Преломление характе­ризуют обычно значением показателя преломления для l=589,3 нм (среднее из длин волн двух близких желтых линий натрия), обозна­чая его символом n_D. Мерой дисперсии служит средняя дисперсия, определяемая как разность   , где  относится к =486,1 нм (синяя линия водорода,  C),  а п_C - к =656,3 нм(красная линия водорода, С).

Нередко преломляющее вещество характеризуют величиной относительной дисперсии, под которой понимают отношение

,

где n_D относится к =589,3 нм. В практических каталогах обычно фигурирует   величина,   обратная   относительной   дисперсии,   т. е.

- так называемый коэффициент дисперсии или число Аббе. Ве­щества с малой дисперсией характеризуются большим значением v (например, для флюорита =95); вещества с большой дисперсией имеют малое (для тяжелых сортов стекла =20). Обычно (но не всегда) дисперсия растет вместе со средним значением показателя преломления.

Для стекол возрастание дисперсии идет обычно параллельно с увеличением удельного веса стекла. Тяжелые сорта стекол (флин­ты) характеризуются большой дисперсией, легкие (кроны) - малой. В настоящее время имеется очень много разных сортов стекол.

Хроматическая аберрация и ахроматизация линз

Фокусное расстояние линзы определяется соот­ношением

,         (4)

где N - относительный показатель преломления.

Таким образом, f для данной линзы (т. е. для определенных R₁ и R₂) тем меньше, чем больше N; отсюда возникает хроматичес­кая аберрация положения, или продольная хроматическая абер­рация, т. е. искажение, в силу которого даже для параксиальных лучей немонохроматический пучок имеет целую совокупность фо­кусов вдоль отрезка оси O₁O₂ (рис. 3.22). В со­ответствии с этим точка на оси изображается цветными кружками, относительные размеры которых зависят от местоположения экрана. Чем меньше дисперсия стекла, тем меньше продольная хроматическая аберрация O₁O_2.

Рис. 3.22. Хроматическая аберрация простой линзы

Ньютон на основании своих опытов ошибочно полагал, что ве­личина относительной дисперсии, входящая в расчет ахромати-зированной системы, не зависит от материала линз, и пришел  отсюда к выводу о невозможности построения ахроматических линз. В соответствии с этим Ньютон считал, что для астрономической прак­тики большое значение должны иметь рефлекторы, т.е. телескопы с отражательной оптикой. Однако Эйлер, основываясь на отсут­ствии заметной хроматической аберрации для глаза, высказал мысль о существовании необходимого разнообразия преломляющих сред и рассчитал, каким образом можно было бы коррегировать хроматическую аберрацию линзы. Доллон построил (1757 г.) пер­вую ахроматическую трубу. В настоящее время имеются десятки сортов стекол с разными показателями преломления и разной дисперсией, что дает очень широкий простор расчету ахромати­ческих систем. Труднее обстоит дело с ахроматизацией систем, предназначенных для ультрафиолетового света, ибо разнообразие веществ, прозрачных для ультрафиолета, ограничено. Удается все же строить ахроматические линзы, комбинируя кварц и флюорит или кварц и каменную соль.

Обычное устройство простой ахроматической линзы показано на рис. 3.23. К двояковыпуклой линзе из крона присоединяется (приклеивается) соответствующим образом рассчитанная рассеи­вающая линза из флинта. Добавочная линза удлиняет фокусные расстояния первой линзы. При этом больше увеличивается фокусное расстояние лучей, сильнее преломляемых (короткой длины волны), так что фокус О_ф отодвигается больше, чем фокус О_кр. Выбирая соответствующим образом параметры, мы заставляем совпадать фокусы двух (или даже трех) длин волн. Однако при современных сортах стекол не удается добиться совпа­дения фокусов для всех видимых лучей, в результате чего возни­кает остаточный хроматизм, называемый вторичным спектром. Для тонких линз совпадение положения фокуса для разных длин волн означает также уравнивание фокусных рас-стояний, т.е. полную ахрома-тизацию. Для толстых же линз (систем) совпадение фокусов еще не означает совпадения фокусных расстояний, ибо последние отсчитываются от главных плоскостей, положения кото­рых для разных длин волн могут быть различными. А различия в величине фокусных расстояний означают различие в увеличении для разных длин волн, вследствие чего предметы конечных раз­меров дают изображения с цветной каймой. Эта вторая хромати­ческая ошибка носит название хроматической разности увеличений, и для ее устранения необходим специальный расчет. Системы, у которых исправлены обе хроматические погрешности для всех рас­стояний объекта, носят название стабильно ахроматизированных.

Ахроматизация для визуальных наблюдений (труба) выполня­ется так, что совпадают фокусы красного и синего лучей ( = 656,3 нм, и = 486,1 нм); ахроматизация систем, предназначен­ных для фотографирования (фотографические объективы), вы­полняется с расчетом соединения фокусов для длин волн = 434,1 и = 589,3 нм, сильно действующих на сенсибилизи­рованную фотографическую пластинку. Аббе (1886 г.) ввел для микроскопии апохроматы, т.е. объек­тивы, где соединены фокусы для трех сортов лучей и вместе с тем устранена сферическая аберрация для разных цветов (уничтожена хроматическая разность сферической аберрации, называемая обычно сферохроматической аберрацией). Апохроматы Аббе имеют большие преимущества перед ахроматами, где коррегированы два сорта лучей. Остающаяся в апохроматах хроматическая разность увели­чений устраняется в микроскопе путем применения специальных окуляров (компенсационные окуляры).

Из изложенного ясно, что устранение многочисленных абер­раций возможно лишь путем устройства специально рассчитанных сложных оптических систем. Однако одновременное исправление всех недостатков может оказаться крайне сложной и даже нераз­решимой задачей. Поэтому нередко идут на Компромисс, рассчи­тывая оптику, предназначенную для определенной цели. При этом устраняют те недостатки, которые особенно опасны для поставлен­ной задачи, и мирятся с неполным устранением других.

Так, для объективов астрономических труб, где источником служат точки, расположенные вблизи оси, важно соблюдение усло­вий синусов и устранение сферической и хроматически аберраций для точек в центре поля; для микрообъективов и фотообъективов, предназначенных для фотографирования широкого поля зрения, необходимо, кроме соблюдения условия синусов, устранение абер­раций, искажающих поле (дисторсия, искривление поля и т.д.), а также хроматической аберрации. Объективы, предназначенные для наблюдения объектов малой яркости, должны иметь возможно большее относительное отверстие, и это вынуждает мириться с не­которыми аберрациями, неизбежными при работе с очень широ­кими пучками. Исправление хроматизма в приборах, предназначен­ных для визуальных наблюдений и для фотографии, рассчитано на разные спектральные области применительно к тому обстоятель­ству, что максимум чувствительности глаза лежит в желто-зеленой части спектра, а чувствительность фотопластинок обычно сдвинута в более коротковолновую область. Объектив коллиматора спек­трального аппарата должен быть очень хорошо исправлен на хро­матическую аберрацию, тогда как объектив камеры может быть совсем не ахроматизован, но в нем весьма вредны астигматизм наклонных пучков и кома; впрочем обычно оптика спектрографа рассчитывается как целое, так что недостаток одной ее части в большей или меньшей степени компенсируется за счет другой части.