Понятие луча

Решение задачи по определению поля в неоднородной среде следует начинать с нахождения эйконала S. Зная эту функцию, можно построить волновые фронты: они задаются уравнением S=const, а затем и лучи - линии, перпендикулярные волновому фронту.

Следует заметить, что вообще эйконал в большей степени определяет световое поле, чем амплитуда А0(r). Это объясняется тем, что перед S(k,r) стоит большой множитель k. Поэтому все изменения u при малом изменении координат определяются главным образом изменением S, а не А0.

Уравнение (6) решается в наиболее общем виде с помощью метода характеристик. Этот метод сводит уравнение в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Обозначим clip_image00214 введем параметр τ вдоль направления p, связанный с длиной дуги l на луче условием dl/=n. Вектор r определяет точку на луче, а вектор dr/d clip_image00416 является касательным к лучу. Уравнение (6) выглядит в новых обозначениях как |p|=n. Можно показать, что оно эквивалентно следующей системе уравнений:

геометрия лучейгеометрия лучей(1)

clip_image01011(2)

Уравнения (1) определяют геометрию лучей

clip_image01210(3)

т.е. координаты r и направления p луча в точке с параметром τ (этот параметр пропорционален времени прохождения волны вдоль луча). Очевидно, что касательный к лучу вектор (1) параллелен clip_image0148 S, т.е. перпендикулярен к волновой поверхности. Таким образом, луч есть нормаль к поверхности равной фазы.

Вектор p, определяющий направление луча, изменяется вдоль луча, согласно (2), в направлении градиента показателя преломления. Иными словами, преломление, или рефракция, криволинейного луча в неоднородной среде происходит в область возрастания n.

В частном случае однородной среды clip_image0166, так что p=const, и лучи являются прямыми линиями.

Для эйконала из (2) получаем

значение эйконала(4)

Здесь clip_image0208 - значение эйконала при clip_image0226; интегрирование ведется вдоль геометрооптического луча. Заметим, что в геометрической оптике физическое значение имеет лишь разность эйконалов clip_image0247, а не величина S.

Для однородной среды значение эйконала для однородной среды

Выбрав направление оси z вдоль луча, умножив затем эйконал - его часто называют "оптический путь" - на частоту k, получим привычное выражение для фазы плоской волны kn(z-z0), так как, очевидно, в данном случае nτ =z.

Система лучевых координат Рис. 3.1. Система лучевых координат

Для построения лучей и фронтов удобно пользоваться системой лучевых координат (рис. 3.1).

Такими координатами являются две координаты ξ, η на поверхности любого, принятого за начальный, волнового фронта clip_image0305, характеризующие данный луч и постоянные вдоль луча, и длина дуги l , отсчитываемая вдоль луча, либо вместо r - введенный выше параметр clip_image00417 (время).

Оставить комментарий к «Понятие луча»