Система уравнений Максвелла.

Приведем законы , которым подчиняется поведение электрического и магнитного полей, лежащие в основе теории электромагнетизма. Эти законы, являющиеся обобщением опыта , формулируются ниже в интегральной форме, так как именно в таком виде обычно выражаются данные эксперимента . Используя основные положения векторного анализа, можно записать эти законы электромагнитного поля в дифференциальной форме.

Если исследуют электромагнитное поле в каком-либо веществе, изотропно заполняющем пространство , то значение векторов Е и В получаются при усреднении микроскопических величин <Eмикр>=Е и <Hмикр>=В. Такая запись позволяет оперировать с мгновенными напряженностями электрического и магнитного полей в любой точке пространства.

Усреднение микроскопических величин законно в том случае , линейные размеры области , где <Eмикр> и <Hмикр> можно считать неизменными ,значительно превышают размеры атомов (молеукл). Длина волны  является тем отрезком , на котором напряженность поля сильно изменяется . Поэтому усреднение можно проводить лишь в том случае, когда значительно больше атомных размеров .Такое равенство соблюдается для всего оптического диапазона спектра , включая короткие ультрафиолетовые лучи . Сложнее обстоит дело в рентгеновской области спектра , где  см, т.е. того же порядка что размеры атомов.

При переходе к дифференциальной форме законов электромагнитного поля используют следующие теоремы векторного анализа:

Теорема Гаусса о преобразовании поверхностного интеграла в объемный:  .        (2.3.1)

Теорема Стокса о преобразовании интеграла по замкнутой кривой в поверхностный интеграл (поток ротора через поверхность , охватываемую исследуемой кривой):

.         (2.3.2)

Итак , вспомним законы электрического и магнитного полей . Первый из них – основной закон электростатики – закон Кулона. Как следствие этого закона формулируется теорема Гаусса о потоке , которая при наличии диэлектриков в исследуемом пространстве записывается в виде

.        (2.3.3)

Отсюда указанным выше способом переходим к дифференциальной форме закона

,             (2.3.3а)

где D – вектор электрического смещения , - объемная плотность зарядов.

Существенно, что выражения (2.3.3) и (2.3.3а), полученные из уравнений электростатики , обобщаются Максвеллом для переменных полей , где D и зависят от времени .

Отсутствие в природе магнитных зарядов (монополей) приводит к выражению

,                 (2.3.4)

которое преобразуется к виду

div B =0. (2.3.4а)

Эти формулы соответствуют хорошо известным модельным представлением о силовых линиях электрического поля , начинающихся на положительных зарядах и  заканчивающихся на отрицательных , тогда как линии магнитного поля замкнуты и охватывают породившие их токи . Введение понятия линий электрического и магнитного полей совершенно не обязательно (смысл законов содержится в приведенных формулах), но, как и во многих случаях , наглядность модельных  представлений помогает пониманию явления.

Переходя к описанию свойств электрического тока . сформулируем основной закон о зависимости напряженности магнитного поля от силы породившего его тока. Этот закон обычно связывают с именами Био, Савара и Лаплпса. Запишем его в видет , который называют теоремой о циркуляции вектора Н:

(2.3.5)

Дифференциальная форма этого закона получается применением теоремы Стокса к равенству (2.3.5) и описывает плотности тока  j с напряженностью магнитного поля в данной точке:

(2.3.6)

Как известно , Максвелл ввел ток смещения, плотность которого удовлетворяет соотношению

Ток проводимости  и ток смещения дополняют друг друга , образуя полный ток плотностью

,

которая, согласно Максвеллу , и фигурирует в уравнении (2.3.6)

последним из требующихся нам фундаментальных соотношений является математическая формулировка знаменитого открытия Фарадея – закона электромагнитной ин6дукции.

,                (2.3.7)

в котором электродвижущая сила , возникающая в замкнутом контуре , связывается со скоростью изменения потока магнитной индукции Ф, пронизывающего этот контур.

При соблюдении некоторых условий эксперимента ( в частности , если контур с током неподвижен и не деформируется за время изменений ) справедлива следующая интегральная форма записи закона индукции:

(2.3.8)

откуда легко получается дифференциальная форма закона

(2.3.9)

Здесь уместно сделать следующее значения:

1.Хорошо известны соображения о вихревом характере электрического поля, порождаемого изменяющимся во времени магнитным полем. Это переменное электрическое поле существенно отличается от потенциального электростатического поля , создаваемого системой неподвижных электрических зарядов, для которого rot E=0. В последующем нас будет интересовать именно переменное электрическое поле . Но , как было показано Максвеллом , наличие переменного электрического поля с неизбежностью приводит к возникновению связанного с ним магнитного поля и поэтому нужно говорить о едином электромагнитном поле , характеризуемом в каждой точке пространства взаимосвязанными ортогональными векторами Е и В.

2.Введение Максвеллом понятий тока смещения в начале выглядело как гениальная догадка. Но несовместимость сформулированного уравнения электромагнитного поля (2.3.6) и уравнения непрерывности

,                    (2.3.10)

выражающего одно из самых общих свойств материи – закон сохранения электрического заряда, – с неизбежностью приводит к необходимости введения дополнительного слагаемого  в правую часть уравнения поля. Следовательно, уравнение (2.3.6) должно иметь вид

.

Именно это изменяющееся во времени электрическое поле , столь неудачно названо «током смещения», и связанное с ним магнитное поле будут играть главную роль в дальнейшем  изложении .

Итак, имеем уравнение электромагнитного поля в следующем виде:

,  ,

, .      (2.3.11)

Их нужно дополнить «материальными» уравнениями , учитывающими соотношения между векторами Е,D,В,Н и j. При отсутствии феромагнитных сегнетоэлектрических материалов для изотропных сред можно записать эти уравнения при помощи трех констант : (электропроводность), (диэлектрическая проницаемость) и (магнитная проницаемость0, постулируя линейную связь между D и Е, В и Н, j и E, т.е.

D =E , В = Н, j = E.                     (2.3.12)

Следует также сформулировать граничные условия для уравнений электромагнитного поля , из которых наиболее широко будем использовать равенство тангенциальных составляющих Е и Н на границе раздела двух сред, т.е.

,      (2.3.13)

если предположить , что граничащие среды разделены слоем, в котором изменяются непрерывно , а j и конечны ,то при стремлении к нулю толщины этого слоя уравнения (2.3.9) и (2.3.6) сведутся к равенствам (2.3.14). Однако при решении конкретных задач часто возникает необходимость задать значение искомых функций на границе исследуемой области . Такие граничные условия определяются условиями эксперимента и не вытекают из уравнений электромагнитного поля. Они должны быть добавлены к системе уравнений (2.3.11). В частности , при рассмотрении безграничного пространства часто задают вид тех или иных функций на бесконечности , руководствуясь физическими условиями решаемой задачи.

Система уравнений , включающая в себя уравнения электромагнитного поля , «материальные» соотношения и граничные условия, названа системой уравнений Максвелла и играет в электродинамике ту же роль . что и аксиматика уравнений Ньютона в классической механике.

Поперечность электромагнитных волн.

Допустим, что волны распространяются в однородном незаряженном диэлектрике. Применим к ним фундаментальные уравнения Максвелла                  ,  

И материальные уравнения D =E , В = Н.

Пусть волна – плоская и монохроматическая. Запишем ее в комплексном виде

, (2.3.15)

где - круговая частота, k- волновой вектор, а амплитуды постоянны. Дифференцируя по времени, получаем ,т.е. операция дифференцирования в этом случае сводится к умножению на .Аналогично ,дифференцирование по координатам x,y,z сводится к умножению на Заметив это и обозначая координатные орты через получаем

и аналогично для rot E. В результате уравнения Максвелла перейдут в

(2.3.16)

Введем единичный вектор N нормали к фронту волны и скорость распространения последнего в направлении этой нормали – так называемую нормальную скорость v. Тогда      (2.3.17)

И предыдущие соотношения перейдут в

(2.3.18)

отсюда видно , что векторы E, H, v в плоской электромагнитной волне взаимно перпендикулярны . Перпендикулярность векторов Е и Н к вектору v, или, что то же, к направлению распространения волны, означает, что электромагнитные волны поперечны. Т.о. проблема поперечности световых волн, с которой не могли справиться теории механического эфира , совсем не возникает в электромагнитной теории света.

Скорость электромагнитной волны

Из уравнений Максвелла можно определить и скорость электромагнитной волны v. С этой целью запишем эти уравнения в скалярной форме:

или

Отсюда после почленного перемножения и сокращения на ЕН получаем для v и показателя преломления следующие выражения:

,

Последнее соотношение  называется законом Максвелла. Для немагнитных сред() оно переходит в .

В вакууме v=c, т.е. v совпадает с электродинамической постоянной с. Тем самым раскрывается глубокий смысл открытия В.Вебера и Кольрауша, впервые измеривших эту постоянную в 1856г.

Энергия переносимая электромагнитной волной

Электромагнитная волна представляет собой электромагнитное возмущение распространяющееся , как уже говорилось , в вакууме со скорость c , а в среде – со скоростью  . С этим электромагнитным возмущением связанна энергия, плотность которой (т.е. энергия, заключенная в единице объема) выражается для электрического поля через

, а для магнитного поля через .В случае монохроматической волны и , так что энергия волны пропорциональна квадрату ее амплитуды . Это соотношение между энергией и амплитудой сохраняет свое значение и для любой другой волны.

При распространении электромагнитной волны происходит перенос энергии, подобно тому как это имеет место при распространении упругой волны. Вопрос о течении энергии в упругой волне был впервые (1874г.) рассмотрен Н.А.Умовым который доказал общую теорему о потоке энергии в любой среде . Поток энергии в упругой волне может быть вычислен через величины, характеризующие потенциальную энергию упругой деформации и кинетическую энергию движения частиц упругой среды. Плотность потока энергии выражается с помощью специального вектора (вектор Умова). Аналогичное рассмотрение плодотворно и для электромагнитных .До известной степени можно уподобить энергию электрического поля потенциальной энергии упругой деформации , а энергию магнитного поля – кинетической энергии движения частей деформированного тела . Так же как и в случае упругой деформации , передача энергии от точки к точке  в электромагнитной волне связанна с тем обстоятельством , что волны электрической магнитной напряженности находятся в одной фазе. Такая волна называется бегущей. Движение энергии в бегущей упругой волне удобно изображается с помощью вектора S , который можно назвать вектором энергии и который показывает, какое количество энергии протекает в волне за 1с. через 1 метр в квадрате. Для электромагнитных волн вектор этот был введен Пойтингом (1884г.) Его уместно называть вектором Умова-Пойтинга.

Нетрудно найти выражение этого вектора для простого случая , рассмотренного нами в пункте 2.2 и выражающего распространение полоской электромагнитной волны вдоль оси x.

Умножив на Н и на Е и сложив,

получим

где есть плотность энергии . Рассматривая поток энергии S , входящий  и выходящий из элементарного объема , найдем выражение для изменения плотности энергии по времени

Отсюда

(2.3.19)

что представляет собой численное выражение вектора Умова – Пойтинга для электромагнитной волны . Что касается направления вектора Умова – Пойтинга , то он перпендикулярен к плоскости , проходящей через векторы электрической м магнитной напряженности , т.е. в векторной форме запишется в общем виде

(2.3.20)

Своим направление вектор Умова – Пойтинаг определяет направление переноса энергии волны  и может бать во многих случаях принят за направление светового луча. Не следует , однако , забывать , что понятие луча есть понятие геометрической оптики и не имеет вполне соответствующего образа в области волновых представлений , для которых введен вектор Умова – -Пойтинга .