Зоны Шустера. Спираль Корню

В одномерных задачах, например при рассмотрении дифракции на прямоугольной щели, разбиение волнового фронта на кольцевые зоны нецелесообразно. Лучше разбивать волновой фронт на полосатые зоны, называемые зонами Шустера (1851-1934). Ограничимся случаем когда волновой фронт плоский, хотя обобщение на случай сферического фронта и не встречает никаких препятствий. Пусть плоскость волнового фронта АВ перпендикулярна к плоскости рис.5.5.1. Обозначим через b длину перпендикуляра РО, опущенного из точки наблюдения на волновой фронт. Проведем цилиндрические коаксиальные поверхности, ось которых проходит через точку Р перпендикулярно к плоскости рисунка, а радиусы равны b, b+l/2, b+2(l/2)...Тогда волновой фронт разобьется на прямоугольные полосы, которые и называются зонами Шустера. Центральную зону условимся считать за две зоны: одна расположена справа, а другая слева от точки   О. Тогда 2b(l/2)=bl.

Таким образом, получаем рекуррентное соотношении,

из которого могут быть найдены все Так как ,то

Ширины последовательных зон Шустера будут

Рис. 5.5.1. Зоны Шустера

Ширины монотонно убывают и в пределе, когда r® ¥,стремиться к l/2, как это ясно из их построения.(Впрочем высшие зоны не играют роли. Имеют значение не только несколько десятков первых зон Шустера).

Как и в случае зон Френеля, применим теперь графический метод. Каждую зону Шустера разобьем на узкие полоски и будем изображать колебание в точке Р, вносимое отдельной полоской, вектором на векторной диаграмме. Затем перейдем к пределу, устремляя к нулю ширину каждой полоски. В результате чего получится плавная кривая, называемая спиралью Корню (1841-1902). Она состоит из двух симметричных ветвей, бесконечное число раз обвивающихся вокруг "фокусов" F и F' и неограниченно приближающихся к ним. Верхняя ветвь представляет действие правой половины волнового фронта, нижняя- левой.

Рис. 5.5.1. Спираль Корню

Отличие каждой из ветвей от соответствующей спирали обусловлено более быстрым убыванием начальных зон Шустера, чем зон Френеля. Колебание, возбуждаемое первой правой зоной Шустера, изображается вектором АО, второй правой- вектором А2, двумя первыми правыми зонами виесте- вектором 02 и т.д. Колебание, возбуждаемое всем волновым фронтом, представляется вектором F'F, соединяющим фокусы спирали Корню. По мере приближения к фокусам амплитуды колебаний становятся все меньше и меньше и в пределе обращаются в нуль.