РМС 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОКУСНЫХ РАССТОЯНИЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ И ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЛИНЗ МЕТОДОМ БЕССЕЛЯ

Цель работы – определение фокусных расстояний положительной и отрицательной линз методом Бесселя

Общие сведения

Линзой называется прозрачное тело, ограниченное двумя криволинейными или криволинейной и плоской поверхностями. Обычно применяют линзы, поверхности которых имеют сферическую форму. Основные типы линз изображены на рис.1.

На рисунке 1 представлены собирающие линзы (1 – двояковыпуклая, 2 – плосковыпуклая, 3 – вогнуто-выпуклая (положительный мениск)) и рассеивающие – (4 -двояковогнутая, 5 – плосковогнутая, 6 – выпукло-вогнутая (отрицательный мениск)).

Различают тонкие и толстые линзы. Линза называется тонкой, если её толщиной можно пренебречь по сравнению с радиусами кривизны её поверхностей.

Система, состоящая из одной или нескольких линз, называется центрированной, если центры кривизны всех её преломляющих поверхностей лежат на одной прямой, называемой оптической осью.

Вспомним основные свойства центрированной системы на примере толстой двояковыпуклой стеклянной линзы, находящейся в воздухе.

Лучи, проходящие через первый главный фокус F₁, выходят с другой стороны линзы пучком, параллельным главной оптической оси ОО’ (рис. 2).

Рис. 2. Прохождение лучей, сходящихся в первом главном фокусе F₁, через двояковыпуклую линзу

Главный фокус находится на расстоянии -f₁ от первой главной плоскости Н₁ которая определяется как геометрическое место точек пересечения падающих лучей с их продолжениями за линзой. Здесь и далее всем расстояниям, отсчитываемым против хода лучей, приписывается знак «-» (правило знаков).

Пучок лучей, падающих на линзу параллельно главной оптической оси, сходится во втором главном фокусе F₂, отстоящем на расстоянии f₂ от второй главной плоскости Н₂

Рис. 2¢. Прохождение пучка лучей, параллельного оптической оси, через двояковыпуклую линзу

Если по обе стороны от линзы находится одна и та же среда, фокусные расстояния совпадают: f₁ = f₂ = f. Величина D = 1/f называется оптической силой линзы.

Собирающая линза сводит лучи,  параллельные оптической оси в действительном фокусе f > 0, (рис. 2′), и имеет положительную оптическую силу.

Рис. 3. Прохождение пучка лучей, параллельного оптической оси, через рассеивающую линзу

Оптическая сила рассеивающей линзы отрицательна, так как для неё точка схождения параллельных лучей мнимая f < 0 (рис. 3).

Для тонкой линзы можно считать, что точки пересечения поверхностей с оптической осью сливаются в одну точку, называемую оптическим центром, а главные плоскости H₁, H₂ – в одну плоскость, проходящую через оптический центр линзы перпендикулярно её главной оптической оси.

Если светящийся предмет – небольшой отрезок, перпендикулярный к оптической оси, то его изображение, полученное с помощью параксиальных (приосевых) лучей также имеет вид отрезка, перпендикулярного к оптической оси (рис. 4).

Рис. 4. Построение изображения в тонкой положительной линзе

Расстояния до предмета и до его изображения s и s‘, отсчитанные от оптического центра вдоль главной оптической оси и взятые с учётом правила знаков, подчиняются уравнению линзы (1):

,                                                                                       (1)

где f – фокусное расстояние линзы, s‘ – расстояние от линзы до изображения, s – расстояние от предмета до линзы.

Для тонкой собирающей линзы f можно рассчитать по этой формуле, получив действительное изображение предмета и измерив расстояния s и s‘. Формула (1) справедлива и для толстой линзы. Однако воспользоваться ею для определения фокусного расстояния произвольной линзы затруднительно, поскольку все расстояния в случае толстых линз или оптических систем необходимо отсчитывать от соответствующих главных плоскостей (рис. 5). Главные плоскости могут лежать и внутри, и вне линзы, совершенно несимметрично относительно её сферических поверхностей, и их положение, как правило, неизвестно.

Рис. 5. Положение главных плоскостей для различных линз

Удобным методом определения фокусного расстояния является, используемый в данной работе метод Бесселя, который позволяет найти величину f, не зная положение главных плоскостей линзы.

Метод Бесселя

С одной стороны от положительной линзы на её оптической оси поместим предмет, действительное изображение которого будем получать на экране, расположенном с другой стороны от линзы. Расстояние L между предметом и экраном зафиксируем. Если оно достаточно велико, существуют два положения линзы, при которых на экране получаются чёткие изображения предмета – уменьшенное и увеличенное (рис. 6).

Рис. 6. Получение изображений по методу Бесселя

Найдём эти положения из уравнения (1а) и условия (2):

,                                                                                       (1а)

,                                                                                        (2)

В формуле (2) мы пренебрегли расстоянием между главными плоскостями линзы по сравнению с L. Выразим расстояние s‘ через расстояние |s| и L из уравнения (2) и подставим это выражение в формулу линзы (1а). Получится квадратное уравнение (3), которому должно удовлетворять расстояние между линзой и предметом |s|, для того чтобы на экране было чёткое изображение.

,                                                                            (3)

Если дискриминант этого уравнения больше нуля (условие (4)),

,                                                                                    (4)

существуют два решения, симметричных относительно середины промежутка предмет-экран (5):

,                                                                   (5)

Условие (4) фактически означает, что чёткое изображение на экране можно получить, только если расстояние от предмета до экрана превосходит фокусное расстояние линзы не менее чем в четыре раза.

Расстояние А между двумя положениями линзы, которым соответствуют увеличенное и уменьшенное изображения предмета (рис. 6), равно разности расстояний |s|₁ и |s|₂ и выражается через L и f (6):

,                                                                       (6)

Решая уравнение (6) относительно фокусного расстояния, приходим к формуле определения фокусного расстояния по методу Бесселя (7):

,                                                                                    (7)

Полученная формула позволяет найти f, измерив отрезки L и А, длины которых не зависят от положения главных плоскостей линзы, что и является главным достоинством метода Бесселя.

Непосредственно с помощью метода Бесселя определить фокусное расстояние рассеивающей линзы невозможно, так как такая линза не даёт действительных изображений действительного предмета. Однако если рассеивающую линзу вплотную сложить с более сильной собирающей линзой, получится собирающая оптическая система (рис. 7).

Рис. 7. Сложение линз

По методу Бесселя можно определить фокусные расстояния собирающей линзы и получившейся системы, а фокусное расстояние рассеивающей линзы рассчитать исходя из них. Аналогично можно рассчитать фокусное расстояние второй собирающей линзы, если ее оптическая сила мала, и она не формирует сопряженных положений на данной базе L.

При сложении линз вплотную их оптические силы складываются в соответствии с уравнением (8):

,                                                                                              (9)

Из этого уравнения получается формула (9а), по которой можно найти фокусное расстояние второй линзы:

,                                                                                    (9а)

Лабораторная установка

Для имитации светящегося предмета в лабораторной установке РМС 1 применяется двумерная дифракционная решётка (центральная зона объекта МОЛ-1), освещаемая гелий-неоновым лазером. Из-за дифракции лазерный пучок за решёткой расщепляется на множество расходящихся лучей, которые дают характерное крестообразное расположение ярких пятен на экране (рис. 10 вверху).

Рис. 10. Внешний вид установки

Полный внешний вид установки изображён на рис. 10 внизу. Лазер 1 подсвечивает дифракционную решётку 2. Пятно, возникающее на решётке при освещении её лазерным лучом, играет роль светящегося «предмета». Расходящиеся от «предмета » лучи исследуемая линза или система линз 3 сводит на экране 4 в пятно-изображение. Элементы установки размещены на оптической скамье 5.

Решетка и линзы устанавливаются в оправах, перемещаемых вдоль стержней оптической скамьи. Каждая из линз может быть независимо удалена из оптического тракта.

Экран закреплен на специальном рейтере. Оптическая скамья снабжена метровой шкалой (лента рулетки, закрепленная в стойках), позволяющей определять положение элементов.

Порядок выполнения работы

А. Измерения

Прочесть инструкцию на рабочем месте.

Убрать линзы из оптического тракта. Включить лазер. Проверить правильность установки лазера, решетки и экрана. При правильной установке центральное дифракционное пятно должно находится в центре экрана, и иметь круглую форму. Кроме того, при перемещении решетки вдоль оси на 20 см центральное пятно должно смещаться не более чем на 1мм.

Установить решётку и экран на расстоянии, указанном преподавателем и определить их координаты х и х‘ по шкале оптической скамьи.

Установить в тракт первую линзу и, перемещая её, найти координаты x₁ и х₂ положений, при которых линза сводит лучи на экране в увеличенное и уменьшенное пятно-изображение. Повторить измерение координаты каждого положения пять раз.

Установить в тракт вторую линзу. Произвести измерения п. 4 с системой, составленной из двух линз.

Вынуть обе линзы из обоймы и установить экран так, чтобы были отчётливо видны пятна между лучами основного яркого «креста». Для наблюдения явления дисторсии установить обойму для линз приблизительно посередине между решёткой и экраном (рис. 11)

Рис. 11. Ход лучей при наблюдении дисторсии

Помещая в тракт сначала одну линзу, затем обе линзы вместе, зарисовать в каждом случае структуру распределения световых пятен на экране (рис. 12).

Рис. 12. Распределение пятен на экране при подушкообразной и бочкообразной дисторсии

Б. Вычисления и анализ

Вычислить расстояние L по формуле (10):

,                                                                                         (10)

где х и х‘ – координаты решетки и экрана соответственно.

Найти средние значения координат x₁ и x₂ для первой линзы и системы линз и определить по ним расстояние А по формуле (11) в обоих случаях:

,                                                                                       (11)

где х₁ и х₂ – средние значения координат линзы при сведении лучей на экране.

Определить фокусные расстояния первой линзы и системы линз по формуле (7).

Рассчитать фокусное расстояние второй линзы по формуле (9а).

На основе сделанных зарисовок и рисунка 12 определить характер дисторсии для системы из двух линз и для каждой линзы в отдельности.