Волновое уравнение
Волновые процессы представляют собой весьма общий класс явлений. Образование волны обусловливается наличием связей между отдельными частями системы, в силу которых понятие изолированного процесса является, конечно, далеко идущей абстракцией. Сравнительно редки случаи, когда процесс, протекающий в какой либо части пространства, можно рассматривать как изолированный. Обычно он вызывает соответствующие изменения в соседних точках системы, передавая им некоторое количество энергии. От этих точек возмущение переходит к смежным с ними и т.д., распространяясь от точки к точке, т.е. создавая волну.
В зависимости от природы связей, которые обусловливают указанное взаимодействие, мы имеем волну той или иной природы. Упругие силы, действующие между элементами любого твердого, жидкого или газообразного тела, приводят к возникновению упругих (акустических) волн в телах. Возмущение горизонтальной поверхности воды становится источником поверхностных волн вследствие связей между соседними участками воды, обусловленных силой тяжести и подвижностью частиц жидкости. небольшая деформация поверхности жидкости может дать начало капиллярным волнам, вызванным действием молекулярных сил, обусловливающих явления в поверхностном слое.
Электромагнитное возмущение, возникшее в каком либо месте пространства, в силу электромагнитных связей, выражающихся в законах электромагнетизма и электромагнитной индукции, становится источником таких же возмущений в соседних участках пространства, от которых оно передается все далее и далее: возникает электромагнитная волна, которая (по Максвеллу) должна распространятся со скоростью света.
Несмотря на бесконечное множество физических процессов, вызывающих волны, образование волн проходит по одному общему типу. Возмущение, происшедшее в какой-нибудь точке в известный момент времени, проявляется спустя некоторое время на некотором расстоянии от начальной точки, т.е. передается с определенной скоростью. Рассмотрим для простоты распространение возмущений по какому-либо одному направлению x; мы можем изобразить возмущение s как функцию координаты x и времени t: s=f(x,t). Легко видеть, распространение возмущений со скоростью v вдоль направления x изобразится той же функцией, а аргумент которой t и x входят в виде комбинации (vt-x) или (t-x/v). Действительно, это строение аргумента показывает, что значение функции, которое она имеет в точке x в момент времени t, повторяется в несколько б т.е. эта скорость равна более отдаленной точке x+dx в более поздний момент времени t+dt, если только
vt-x=v(t+dt)-(x+dx) (2.2.1)
Т.о. возмущение за время dt переместится на расстояние dx, распространившись со скоростью dx/dt. Из соотношения (2.2.1) следует,что dx/dt=v, т.е. эта скорость равна v.
Итак, любая функция от аргумента vt-x выражает распространение возмущения вдоль x в сторону возрастающих значений x с постоянной скоростью v. Аналогично любая функция от аргумента vt+x описывает распространение импульса со скоростью v, но в противоположную сторону. Вид функции f позволяет определить форму возмущения для любого момента t и зависит от условий, вызвавших его возникновение.
Нетрудно показать, что дифференциальное уравнение, описывающее волновое движение,т.е. уравнение, решение которого будет любая функция от аргумента (vt-x)или (vt+x), будет иметь вид
Действительно простой подстановкой легко убедиться, что возмущение s, определяется соотношением
где произвольные функции, является решением (2.2.2) Так как это уравнение есть дифференциальное уравнение второго порядка, то найденное решение как содержащее две произвольные функции, является общим его решением. Это решение представляет совокупность двух волн, распространяющихся со скоростью v навстречу друг другу. Само собой разумеется, что из самого дифференциального уравнения никогда нельзя сделать заключения о специальной форме функции . Поэтому дифференциальное уравнение типа (2.2.2) математически описывает всевозможные процессы распространения волн (вдоль оси x). Рассмотрим в качестве примера образование и распространение электромагнитной волны.
Как известно, возникновение в каком- либо месте среды переменного электрического тока сопровождается появлением в окружающем пространстве переменного магнитного поля(электромагнетизм); это последнее ведет к образованию переменного электрического поля (электромагнитная индукция), обусловливающего переменные токи смещения в окружающем пространстве. Токи смещения обусловливают возникновение магнитного поля, так же как обычные токи проводимости в проводнике создают вокруг себя магнитное поле. Т.е., все новые и новые области пространства становятся областью действия электромагнитных полей: возникшее где либо электрическое колебание не остается локализованным, а постепенно захватывает все новые и новые участки пространства, распространяясь в виде электромагнитной волны.