Задача 1.

Активность препарата ³²P равна 2 мкКи. Сколько весит такой препарат?

Решение.

Закон радиоактивного распада:

,

где N₀ – количество радиоактивных ядер в произвольно выбранный начальный момент времени t = 0, N(t) – количество радиоактивных ядер, не распавшихся к моменту времени t, - постоянная распада (вероятность распада в единицу времени). N – активность (интенсивность излучения) радиоактивного препарата, измеряется в Ки, 1 Ки = 3.7·10¹⁰ распадов/с. T_1/2 – период полураспада данного ядра (время, в течение которого количество радиоактивных ядер уменьшается в два раза) равен для ³²P 14.5 суток. Период полураспада T_1/2 связан с постоянной распада соотношением T_1/2 = ln 2/. Количество ядер в образце массой m грамм

где N_A – число Авогадро, A – массовое число. Активность препарата

тогда его масса будет

= 7.1·10^-12 г.

Задача 2.

Во сколько раз число распадов ядер радиоактивного иода ¹³¹I в течение первых суток больше числа распадов в течение вторых суток? Период полураспада изотопа ¹³¹I равен 193 часам.

Решение.

Из закона радиоактивного распада N(t) = N₀ следует, что в течение первых суток (первых 24 часов) распалось ядер. В течение вторых суток распалось ядер. Отношение числа распадов за первые сутки к числу распадов за вторые сутки , где T_1/2- период полураспада ¹³¹I в часах, связанный с соотношением T_1/2 = ln2/= 0.693/.

Окончательно .

Задача 3.

Определить энергию W, выделяемую 1 мг препарата ²¹⁰Po за время, равное среднему времени жизни, если при одном акте распада выделяется энергия E = 5.4 МэВ.

Решение.

Количество ядер радиоактивного препарата за среднее время жизни уменьшается в e = 2.718 раз. Тогда количество распавшихся за это время ядер будет D = 1 – 1/2.718 = 0.632 от их первоначального числа. Начальное число ядер N
в образце массой m грамм определяется из соотношения N = mN_A/A, где N_A – число Авогадро, A – массовое число. Количество энергии, выделившейся за время, равное среднему времени жизни изотопа ²¹⁰Po

.

Задача 4.

Определить верхнюю границу возраста Земли, считая, что весь имеющийся на Земле ⁴⁰Ar образовался из ⁴⁰K в результате e-захвата. В настоящее время на каждые 300 атомов ⁴⁰Ar приходится один атом ⁴⁰K.

Решение.

Число нераспавшихся к настоящему времени ядер ⁴⁰K

,

где N₀ – начальное число ядер ⁴⁰K в момент образования Земли, t – возраст Земли. T_1/2 – период полураспада ⁴⁰K, составляющий 1.277·10⁹ лет. При радиоактивном распаде ⁴⁰K путем e- захвата распадается только 10.67% ядер, поэтому число ядер аргона к настоящему времени будет

.

Получаем уравнение:

,

откуда

Задача 5.

Перечислить несколько ядерных реакций, в которых может образоваться изотоп ⁸Be.

Решение.

Используя закон сохранения заряда и закон сохранения числа нуклонов, получим

Задача 6.

Какую минимальную кинетическую энергию в лабораторной системе T_min должен иметь нейтрон, чтобы стала возможной реакция ¹⁶O(n,)¹³C?

Решение.

Минимальная энергия, при которой возможна реакция, равна порогу реакции. Вычислим энергию реакции:

Q = 8.071 – 4.737 – 2.424 -3.125 = -2.215 МэВ

Для вычисления пороговой энергии T_пор используем нерелятивистское приближение:

T_min = T_пор = 2.215(1 + 1/17) = 2.35 МэВ.

Задача 7.

Является ли реакция ⁶Li(d,)⁴He эндотермической или экзотермической? Даны удельные энергии связи ядер в МэВ: (d) = 1.11; () = 7.08; (⁶Li) = 5.33.

Решение.

Полная энергия связи ядра, выраженная через массу атома, имеет вид:

Е_св(A, Z) = Zm_H + (A – Z)m_n - M_ат(A, Z) – Zm_e) c²,         (1)

Удельная энергия связи ядра (A, Z) это энергия связи, приходящаяся на один нуклон

(A, Z) = E_св(A,Z) / A, (2)

где А – массовое число.

и Энергией реакции
называется разность масс начального и конечного состояний системы.

.                     (3)

вычислим величину энергии реакции:

==

= 247.08 – 65.33 -21.11 = 22.44 МэВ.

Реакция является эндотермической.

Задача 8.

Определить пороги T_пор реакций фоторасщепления ¹²С.

1. + ¹²С
   ¹¹С + n
   
2. + ¹²С ¹¹В + р
   
3. + ¹⁴С ¹²С + n + n
   

Решение.

Рассчитаем энергии реакций 1) – 3), используя табличные данные по избыткам масс атомов

1) Q = 0 – (8.071+10.650) = -18.721 МэВ

2) Q = 0 – (8.668 + 7.289) = -15.957 МэВ

3) Q
= 3.02 – (0 + 28.071) = -13.122 МэВ

Для пороговой энергии

, следовательно, можно записать: T_пор
Q так как для реакций 1) – 3) и

Задача 9.

Определить пороги реакций: ⁷Li(p,)⁴He и ⁷Li(p,)⁸Be.

Решение.

Рассчитаем энергии реакций: Энергией реакции называется разность масс начального и конечного состояний системы.

.

Реакция может идти с образованием в конечном состоянии возбужденных ядер. Таким образом массы их m больше, чем в основном состоянии, m = m + Е_возб/c², где Е_возб – энергия возбуждения ядра, что необходимо учитывать при расчетах по формуле.

Если Q > 0, реакция называется экзотермической и сопровождается увеличением суммарной кинетической энергии. Если Q < 0, то реакция называется эндотермической и сопровождается уменьшением суммарной кинетической энергии. Для реализации эндотермической реакции необходимо, чтобы энергия сталкивающихся частиц была больше некоторой величины, которая в системе центра инерции (с.ц.и.) тождественно равняется Q. Суммарная кинетическая энергия частиц в конечном состоянии при этом равна нулю. В лабораторной системе (л.с.) энергия, необходимая для реализации эндотермической реакции должна быть больше Q, так как часть энергии расходуется на движение центра инерции.

1) ⁷Li(p,)⁴He Q = +17.348 МэВ

2) ⁷Li(p,)⁸Be Q = +17.26

Реакции 1) – 2) экзотермические, идут при любых энергиях протонов.

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить, какая доля радиоактивного натрия ₁₁Na²⁴ распадается за 24 часа и какая доля распадается за 10 секунд. Сколько атомов распадётся за 24 часа и за 10 секунд, и чему будет равна активность и масса препарата через 24 часа, если в начальный момент активность была равна 1,0 мккюри?

2. Определить период полураспада трития ₁H³, если счетчик, помещенный возле радиоактивного препарата; дал следующие показания:

3. Определить период полураспада радия, если известно, что т = 1,00 г радия образует в течение года массу гелия, занимающего в нормальных условиях объем DV = 0,043 см³.

4. Определить возраст урановой руды, содержащей на 0,523 кг урана ₉₂U²³⁸ 0,320 кг свинца ₈₂Pb²⁰⁶ и 0,019 кг свинца ₈₂Pb²⁰⁴.

5. Определить возраст деревянного изделия, если его активность составляет 8,6 распадов в минуту на каждый грамм содержащегося в изделии углерода. Известно, что каждый грамм углерода в живом организме испускает 15,3 b-частиц в минуту.