Задача 1.

Масса нейтрального атома ¹⁶O m_ат(A,Z) = 15.9949 а.е.м. Определить удельную энергию связи ядра ¹⁶O.

Решение.

Удельная энергия связи ядра

(A,Z) = E_св(A,Z)/A,

где E_св (A,Z) – энергия связи ядра, A – массовое число. Полная энергия связи ядра

E_св (A,Z) = [Zm_p + (A-Z)m_n - m_я(A,Z)]c² = [Zm_p + (A-Z)m_n - m_ат(A,Z) - Zm_e]c²

Используя энергетические единицы для масс 1а.е.м.= 931.49 МэВ, получаем для ядра ¹⁶O

= 7.5 МэВ/нуклон.

Задача 2.

На каком расстоянии интенсивность пучка мюонов с кинетической энергией T = 0.5 ГэВ, движущихся в вакууме, уменьшается до половины первоначального значения?

Решение.

Уменьшение интенсивности пучка мюонов происходит в результате распада мюонов

Число мюонов N(t), не распавшихся к моменту времени t, определяется соотношением

N(t) = N(0) exp(-t/),                     (1)

где - среднее время жизни мюона, N(0) – число мюонов в начальный момент времени. Среднее время жизни покоящихся мюонов равно 2.2·10^{- 6} с. В данном случае

N(t) = N(0)/2 = N(0) exp(-t/),                  (2)

то есть exp(- t/) = 1/2, или же t = ln2. Релятивистское замедление течения времени определяется соотношением

(3)

где t₀ – время в системе, связанной с движущимся телом. В нашем случае получаем

(4)

Связь между кинетической энергией T и импульсом p частицы

(5)

Релятивистский импульс частицы

(6)

где m – масса покоя частицы, v – ее скорость. Из (5) и (6) получим

(7)

Энергия покоя mc² мюона 106 МэВ. Пробег мюона

l = vt                             (8)

Подставляя в (8) (4) и (7), получим

Задача 3.

Массы нейтральных атомов в а.е.м.: ¹⁶O – 15.9949, ¹⁵O – 15.0030, ¹⁵N – 15.0001. Чему равны энергии отделения нейтрона и протона в ядре ¹⁶O?

Решение.

Энергия отделения нейтрона

_n(A,Z) = m_n +m(A-1,Z) – m(A,Z),

протона

_p(A,Z) = m_p +m(A-1,Z-1) – m(A,Z).

В обеих формулах массы должны быть в энергетических единицах.

Для ядра ¹⁶O

_n = 939.6 МэВ + (15.0030 а.е.м. – 15.9949 а.е.м.)^х931.5 МэВ = 15.6 МэВ,
_p = 938.3 МэВ + (15.0001 а.е.м. – 15.9949 а.е.м.)^х931.5 МэВ = 15.6 МэВ.

Задача 4.

Ядро ¹⁰B из возбужденного состояния с энергией 0.72 МэВ распадается путем испускания -квантов с периодом полураспада T_1/2 = 6.7·10^-10 с. Оценить неопределенность в энергии E испущенного -кванта.

Решение.

Из соотношения неопределенностей Гейзенберга получим

где -среднее время жизни возбужденного состояния.

Задача 5.

Рассчитать длины волн протона и электрона с кинетической энергией T = 10 МэВ.

Решение.

Протон нерелятивистский (T_p << m_pc²). В этом случае

,

учитывая, что c = 197 МэВ·Фм, имеем

Электрон релятивистский (T_e >> m_ec²). В этом случае

Задача 6.

Протон, электрон и фотон имеют одинаковую длину волны = 10^-
9 см. Какое время t им необходимо для пролета расстояния L = 10 м?

Решение.

Для протона и электрона:

т.е.

откуда получаем, что

Время пролета

.

Протон:        

Электрон:        

Фотон:             

Задача 7.

Длина волны фотона = 3·10^-11см. Вычислить импульс p фотона.

Решение.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Пользуясь таблицей масс атомов, вычислить удельную энергию связи для ядер ₂Не³, ₂Не⁴.Какой из этих изотопов является более устойчивым?

2. Вычислить минимальную энергию, необходимую для удаления одного нейтрона из ядра ₇N¹⁴.

3. Вычислить массы ионов лития ₃Li⁷— однозарядного, двухзарядного и трехзарядного (ядра лития)

4. Химический элемент кислород представляет собой смесь трех изотопов:

₈О¹⁶, ₈О¹⁷, ₈О¹⁸,

массы которых в у. е. соответственно равны

15,99491, 16,99913, 17,99916,

а распространённость

99,759%, 0,037%, 0,204%.

Вычислить по этим данным относительную атомную массу (атомный вес) элемента кислорода.