В воде идут два параллельных луча 1 и 2. Луч 1 выходит в воздух непосредственно, а луч 2 проходит сквозь горизонтальную плоскопараллельную стеклянную пластинку, лежащую на поверхности воды. Будут ли лучи 1 и 2 параллельны по выходе в воздух?

Решение:

Так как показатель преломления одной среды относительно другой равен отношению скоростей света в этих средах, то

Умножая одно равенство на другое, найдем

откуда следует, что . Закон преломления света при переходе из среды с показателем преломления  в среду с показателем преломления  можно записать в форме:

Запишем это соотношение для нашей задачи:

Ответ: , т.е. лучи выйдут параллельными.

Задача 2

Определить смещение светового луча при прохождении его через стеклянную пластину толщиной 4 см, если угол падения равен 70^о. показатель преломления стекла 1,5.

Дано:

ВК=4 см

i = 70^о

n = 1,5

___________

CD – ?

Решение:

Из рисунка видно, что смещение светового луча CD = BC sin (i – r), но     .

Определим угол преломления r:

r=39^о.

Тогда

Вычисление:

(см)

Ответ: смещение светового луча CD = 2,65 см.

Задача 3

Найти освещенность Е поверхности  Земли, создаваемую нормально падающими солнечными лучами. Яркость В Солнца 1,2·10⁹ кд/м². Расстояние r от Земли до Солнца 1,5·10⁸ км, радиус R Солнца 7·10⁵ км.

Дано:

В=1,2·10⁹ кд/м²

r = 1,5·10⁸ км=1,5·10¹¹ м

R= 7·10⁵ км =7·10⁸ м

___________________

Е-?

Решение:

Вследствие большого расстояния от Земли до Солнца, считаем, что лучи, падающие от Солнца на Землю, идут отдельным пучком. Принимая Солнце за плоский святящийся диск, найдем, что его яркость

,

где . Коэффициент 2 введен ввиду того, что плоский диск излучает по двум направлениям.

Тогда                                          ,

откуда                                         (1)

По условию задачи, cos α=1. Тогда освещенность поверхности Земли

(2)

Подставляя в уравнение (2) выражение (1), получим

Вычисление:

Ответ: яркость Солнца  лк.

Задача 4

Лампа, в которой святящимся телом служит накаленный шарик диаметром d=3мм, дает яркость лампы  кд/м². Найти силу света I, если сферическая колба лампы сделана из прозрачного стекла.

Дано:

d=3мм=3·10³ м

кд/м²

______________

I-?

Решение:

Из формулы          

выразим     ,

где  S – площадь проекции излучающей поверхности на плоскость, перпендикулярная направлению наблюдения. Излучающей поверхностью является поверхность шарика, т.е.

.

Отсюда                             .

Вычисление:

Ответ: сила света I=85 кд.

Задача 5

Электрическая лампа, сила света I которой 100 кд, заключена в матовой сферический плафон диаметром D=5 см. Найти светимость R и яркость В лампы. Поглощением света стеклом плафона пренебречь.

Дано:

I=100 кд

D=5 см=5·10־² м

_______________

R-?    В-?

Решение:

По определению, светимость источника равна

где Ф=Iω D=5 см – излучаемый световой поток, ω=4π – полный телесный угол, S=πD². Тогда

Яркость  лампы равна

,

откуда     .

Вычисление:

Ответ: светимость лм/м², яркость кд/м².

Задача 6

Две лампы силой света 30 и 120 кд находятся на расстоянии 6 м друг от друга. Где нужно поместить между ними непрозрачный экран, чтобы он был одинаково освещен с обеих сторон?

Дано:

I₁=30 кд

I₂=120 кд

l=6 м

Е₁=Е₂

_________

R₁-?

R₂-?

Решение:

Так как углы падения лучей на грани экрана равны 0^о, то

(1)

но      R₂ = l - R₁ ,                 (2)

В уравнении (1) заменим R₂ на выражение (2) :   

Подставим значения данных величин и решим уравнение относительно R₁:

4 R₁² = 36 – 12 R₁ + R₁²;

3R₁² + 12 R₁ – 36 = 0;       R₁² + 4R₁ - 12 = 0

Отсюда R₁=2 м

Теперь в формулу (2) подставим R₁ и найдем

R₂= 6 – 2 = 4 м.

Ответ: экран надо поместить на расстоянии 2 м от лампы силой света 30 кд или на расстоянии 4 м от лампы силы света 120 кд.

Задачи для самостоятельного решения:

1.     Почему туман, состоящий из прозрачных капелек воды, оказывается непрозрачным?

2.     На стеклянную пластинку, показатель преломления которой 1,5 падает луч света. Найти угол падения луча, если угол между отраженным и преломленным лучами 90º.

3.

Определить показатель преломления глицерина относительно воды и воды относительно глицерина, если абсолютный показатель преломления глицерина равен 1,47, а воды – 1,33.

4.     Вычислить световой поток, падающий на площадку 10 см², расположенную на расстоянии 2 м от источника, сила света которого 200 кд.

5.     На столбе высотой 6 м висит лампа, сила света которой 400 кд. Вычислить освещенность поверхности земли на расстоянии 8 м от основания столба.

Над центром круглой горизонтальной площадки диаметром 6 м на высоте 4 м висит лампа. Во сколько раз освещенность площадки в центре больше, чем на ее краях?

В стекле с показателем преломления n_ст=1,52 имеется сферическая полость радиусом R=3 см, заполненная водой (n_в=1,33). На полость падают параллельные лучи света. Определить радиус светового пучка, который проникает в полость.

Дано:

R=3см

n_ст=1,52

n_в=1,33

________

r-?

Решение:

По условию задачи параллельные лучи света падают на сферическую полость в стекле, заполненной водой. Предельный угол i_пр, при котором падающие лучи уже не будут попадать в полость, определяется из условия, что угол преломления при этом равен 90º:

Угол падения параллельных лучей на сферическую поверхность изменяется от 0 до 90º. Следовательно, на каком-то расстоянии угол падения станет равным предельному и лучи света не станут проникать в полость. Расстояние r, очевидно, является радиусом светового пучка, проникающего в полость. Из чертежа видно, что

Вычисление:

Ответ: радиус светового пучка r=2,6 см

Задача 2

Вогнутое зеркало поставлено против сходящегося пучка лучей так, что точка, где лучи пересекались, осталась за зеркалом на расстоянии 20 см от его полюса. После отражения от зеркала лучи сошлись в одну точку на расстоянии, равном 1/5 фокусного расстояния зеркала. Найти радиус кривизны зеркала.

Дано:

АО=20см=0,2м

ОА1=F/5

______________

R-?

Решение:

Если поместить точечный источник света в точку А1, то его мнимое изображение окажется в точке А. Следовательно, если изображением считать точку А1, то для нее точка А будет является мнимым источником. В этом случае формула вогнутого зеркала примет вид

где d=АО; f=А1О=F/5; F=R/2.

Тогда

откуда

R=8d

Вычисление:

R=8·0,2=1,6 (м)

Ответ: радиус кривизны зеркала R=1,6 м.

Задача 3

Собирающая линза дает действительное увеличенное в два раза изображение предмета. Определить фокусное расстояние линзы, если расстояние между линзой и изображением предмета 24 см.

построить изображение предмета в линзе.

Дано:

к=2

f=24см=0,24м

_____________

F-?

Решение:

Для нахождения фокусного расстояния воспользуемся формулой линзы

откуда

Линейное уравнение линзы равно

откуда

Подставим соотношение (2) в уравнение (1) и найдем

Вычисление:

Ответ: фокусное расстояние F=8·10־² м.

Задача 4

Найти построением положение рассеивающей линзы и ее главных фокусов, если размеры предмета АВ=10 см, его изображения А1В1=5см, а расстояние между точками В и В1 на оптической оси а=4см. Проверить полученные данные расчетом.

Дано:

АВ=10см

АВ=5см

а=4см

__________

d-?

f-?

Решение:

Из рисунка и условия следует, что

ВВ̕=d – f=4 см, (1)

где d-расстояние от предмета до линзы; f-расстояние от изображения до линзы.

Используем формулу линзы (так как линза рассеивающая, то фокусное расстояние имеет отрицательное значение).

Из подобных треугольников АОВ и А̕ОВ̕ находим

Вычисления:

значит d=2f . Подставим в (1) уравнение

d=8 (cм) f=4 (см)

Подставим эти значения в уравнение (2) и найдем фокусное расстояние:

Ответ: расстояние от предмета до линзы d=8 см, расстояние от изображения до линзы f=4 см, фокусное расстояние F=8 см.

Задача 5

Определить оптическую силу прибора объектива проекционного фонаря, если диапозитив высотой 5 см получается на экране высотой 2 м, когда экран удален от объектива на 6 м.

Дано:

h=0,05м

H=2м

f=6м

_________

D-?

Решение:

Оптическая сила прибора определяется формулой

.

Выразим d из равенства

Тогда

Вычисление:

(дптр)

Ответ: оптическая сила прибора D=6,8 дптр.

Задача 6

Определить увеличение телескопа β, у которого объектив имеет главное фокусное расстояние 20 м, а окуляр дает 8-кратное увеличение.

Дано:

F_об=20 м

β_ок=8

________

β-?

Решение:

. (1)

Окуляр действует как лупа, поэтому

. (2)

Подставим уравнение (2) в (1)

.

Вычисление:

Ответ: увеличение телескопа β = 640.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Человек стоял перед плоским зеркалом, затем отошел от него на расстояние 1 м. На сколько увеличилось при этом расстояние между человеком и изображением.
   

2. Найти главное фокусное расстояние зеркала, если светящаяся точка и ее изображение лежат на главной оптической оси вогнутого зеркала на расстояниях 16 и 100 см соответственно от главного фокуса.
   

3. Сходящиеся лучи падают на выпуклое зеркало так, что их продолжения пересекаются в точке, находящейся на расстоянии d=0,4 м за зеркалом. После отражения от зеркала лучи расходится таким образом, что их продолжения пересекаются в точке, отстоящей т зеркала на расстоянии f=1,6 м. Обе точки пересечения лежат на главной оптической оси зеркала. Определить фокусное расстояние F зеркала.
   

4. На каком расстоянии от выпуклой линзы с фокусным расстоянием F=60 cм следует поместить предмет, чтобы получить действительное изображение, увеличенное в к=2 раза? Решить построением и проверить расчетом.
   

5. Собирательная линза с фокусным расстоянием F₁=20 см находится на расстоянии L=50 см от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F₂=36 см. Перед собирающей линзой на расстоянии d₁=28 см от нее расположен предмет. Определить положение изображения и увеличение системы.
   

6. Из стекла с показателем преломления n=1,5 изготовлена линза с фокусным расстоянием f=-10 см. затем на одну из сторон линзы наносят тонкий полупрозрачный слой серебра. С помощью такой линзы одновременно получают два одинаковых изображения предмета, причем размер изображений не зависит от того, какой стороной к предмету обращена линза.
   

7. С высоты 1 км сфотографирована река. Определить ширину реки, если на снимке она равна 4 см. оптическая сила объектива фотоаппарата равна 8 дптр.
   

8. Пределы аккомодации у близорукого человека лежат между d₁=10 и d₂=20 см от глаз. Чему равны оптическая сила и фокусное расстояние очков, восполняющих недостаток такого близорукого глаза?
   

9. При съемке автомобиля длины l=4 м пленка располагалась от объектива на расстоянии f =60 см. С какого расстояния d снимали автомобиль, если длина его негативного изображения L=32 мм?
   

10. На спутнике, летящем по круговой орбите на высоте Н=100 км, расположен фотоаппарат, объектив которого имеет фокусное расстояние f =10 см. фотографируется поверхность Земли под спутником. Разрешающая способность пленки, определяемая зернистой структурой фотоэмульсии, d =10 мкм. Каков минимальный размер фотографируемых предметов?
    

Пучок белого света падает по нормали к поверхности стеклянной пластинки толщиной d=0,4 мкм. Показатель преломления стекла n=1,5. Какие длины волн , лежащие в пределах видимого спектра ( от 400 до 700 нм), усиливаются в отраженном свете?

Дано:

d = 0,4 мкм =0,4м

n=1,5

_________________

-?

Решение:

Условие максимума в отраженном свете:

Отсюда .

При к=1 получаем: .

Данная волна не лежит в пределах видимого спектра.

При к=2 получаем: .

Что удовлетворяет условию.

При к=3 получаем: .

Эта длина также не лежит в пределах видимого спектра. Таким образом, искомая длина волны =480 нм.

Ответ: длина волны, усиливающая в отраженном свете и лежащая в пределах видимого спектра
=480 нм.

Задача 2

Найти среднее значение длины волны белого света, используя интерференционную картину, полученную от двух узких щелей, расположенных на расстоянии d = 0,02 см одна от другой. Расстояние между темными полосами на экране равно r1 = 0,49 см, а расстояние от щелей до экрана r2 = 200 см.

Дано:

d = 0,02 см

r1 = 0,49 см

r2 = 200 см

__________

-?

Решение:

Расстояние между темными полосами (минимумами света) такие же, как и между светлыми (максимум), поэтому

где

Вычисление:

Ответ: среднее значение длины волны λ=4,9·10־⁵ см.

Задача 3

Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом с длиной волны =600 нм, падающим по нормали к поверхности пластинки. Найти толщину h воздушного слоя между линзой и стеклянной пластинкой в том месте, где наблюдается четвертое темное кольцо в отраженном свете.

Дано:

=600 нм=0,6ּм

к=4

_________

h-?

Решение:

Условие минимума в отраженном свете:

2hn=4

По условию к=4 (число колец), n=1, тогда

2h=4,

откуда h=2

Вычисление:

h = 1,2(м)

Ответ: толщина воздушного слоя h = 1,2 м.

Задача 4

На стеклянный клин падает нормально монохроматический свет (λ = 698 нм). Определить угол между поверхностями клина, если расстояние между соседними интерференционными минимумами в отраженном свете равно 2 мм.

Дано:

n=1,5

λ = 698 нм = 6,98۰10^-7 м

l = 2 мм = 2۰10^-3 м

______________________

φ – ?

Решение:

Параллельный пучок света, падая нормально к грани, отражается как от верхней (луч 1), так и от нижней (луч 2) грани клина. Лучи 1 и 2 когерентны между собой и интерферируют. Интерференционная картина представляет собой чередование темных и светлых полос. Темные полосы видны на тех участках клина, для которых оптическая разность хода кратна нечетному числу половины длины волны (условие минимума):

Оптическая разность хода в отраженном свете равна:

где i – угол падения луча. Так как по условию свет падает нормально, то i = 0 и sini = 0. Произвольной полосе с номером m соответствует толщина d_m , а (m+1) полосе соответствует толщина клина d_m+1 . Запишем условие минимума для двух соседних темных полос:

Отсюда:   

Тогда:   

Из рисунка:   

Вычисление:

Тангенс мал, поэтому:   

Ответ:

Задача 5

На рисунке 1 изображена схема опыта Френеля по наблюдению интерференции. Два одинаковых плоских зеркала образуют между собой угол π – 2α (2α = 0,1 рад). Точечный источник света S находится на биссектрисе угла на расстоянии d = 20 см от линии пересечения зеркал. При каком минимальном размере зеркал α на удаленном экране могут наблюдаться интерференционные полосы? Прямые лучи от источника на экран не падают.

Дано:

d = 20 см = 0,2 м

2α = 0,1 рад; α=0,05 рад

_____________________

α - ?

Решение:

Каждое из зеркал дает мнимое изображение источника S (рис.2). Источники S₁ и S₂ когерентны, так как представляют собой изображение одного и того же источника. Поэтому в той области, где пучки света, исходящие из этих источников, перекрываются, возможно наблюдение интерференционной картины. Ширина пучков определяется положением источника и размерами зеркала. Для того чтобы пучки могли пересечься на удаленном экране, необходимо, чтобы луч, прошедший через край зеркала, шел (при минимальном размере зеркала) параллельно оси системы. При этом

α.

Из треугольника АS₁К имеем

(так как угол α мал, то
tg α ≈ α).

Выразим α=2d α

Вычисление:

α=2۰0,2۰0,05=0,02 (м)

Ответ: минимальный размер зеркал α = 2 см.

Задача 6

Пучок света (λ = 582 нм) падает перпендикулярно к поверхности стеклянного клина. Угол клина γ = 20^″ . Какое число κ_о темных интерференционных полос приходится на единицу длины клина? Показатель преломления стекла n = 1,5.

Дано:

λ = 582 нм = 5,82 ۰ 10^-7 м

γ = 20^″=15,4۰10^-7 рад

n = 1,5

__________

κ_о – ?

Решение:

Для малых углов АВ = ВС = h (рис. 1) и tg = γ. Разность хода

Выразим h через длину участка поверхности клина h=x۰ tg γ ; h= γ x .

Тогда разность хода будет равна – (1)

Если интенсивность интерферирующих волн одинакова, то результирующая интенсивность в точках, для которых разность хода равна , определяется выражением – (2),

где – (3)

Подставляя (1) в (3), получим .

Тогда уравнение (2) примет вид

;

– (4)

Найдем период колебаний (рис. 2).

Из (4) имеем

; ; .

Число темных полос, приходящихся на единицу клина, есть величина обратная периоду

.

Вычисление:
= 5 (1/см)

Ответ: число темных полос, приходящихся на единицу клина κ_о = 5 см ^-1.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Длина волны красного луча в воде равна длине волны зеленого луча в воздухе. Вода освещена красным светом. Какой цвет видит при этом свете человек, открывающий глаза под водой?
   
2. Какую наименьшую толщину должна иметь прозрачная пластинка, изготовленная из материала с показателем преломления 1,2, чтобы при освещении ее перпендикулярными лучами с длиной волны 600 нм в отраженном свете казалась черной?
   
3. Лучи света под углом i=45˚ падают на тонкую прозрачную пластинку, которая при этом окрашена в зеленый цвет. Показать, что при уменьшении угла i цвет пластинки должен изменяться, переходя к красному концу спектра, а при увеличении угла i – наоборот, к фиолетовому.
   

1. При осуществлении интерференции света были получены световые пучки, в состав которых, наряду с когерентным светом, входил и некогерентный. Что при этом наблюдалось?
   
2. Между двумя стеклянными пластинами l и lˊ образовался воздушный клин с углом . Какой вид будет иметь интерференционная картина при освещении клина перпендикулярно падающим пучком света с длиной волны м? как изменится интерференционная картина при увеличении угла ?
   
   1. На расстоянии наилучшего зрения (25см) нормальный человеческий глаз видит раздельно две точки, отстающие одна от другой на 0,07 мм. Определите угол между пластинами, при котором глаз перестает различать интерференционные полосы, и наибольшую толщину клина, если его длина l=10 см.
      
   2. Оценить неточность, которую можно допустить в установке углов наклона зеркала в интерферометре Майкельсона для того, чтобы можно было наблюдать полосы равного наклона. Ширина зеркал D = 5 см, длина волны света λ = 0,55 мкм.
      

1. От двух когерентных источников света S₁ и S₂ получена система интерференционных полос на экране Э, удаленном от источников на расстояние L = 2 м. Во сколько раз изменится ширина интерференционных полос, если между источниками и экраном поместить собирающую линзу с фокусным расстоянием F = 40 см так, чтобы источники S₁ и S₂ оказались в фокальной плоскости линзы?
   

1. Определить видность ν интерференционной картины от двух точечных источников, спектор излучения которых одинаков. Как зависит видность ν от ширины спектра ∆f ?
   

1. Установка для получения колец Ньютона освещается белым светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы R = 5 м наблюдение ведется в проходящем свете. Найти радиусы r_с r_кр четвертого синего кольца (λ_с = 400 нм) и третьего красного кольца (λ_кр = 630 нм).
   

Свет от монохроматического источника (=600 нм) падает нормально на диафрагму с диаметром отверстия d=6 мм. За диафрагмой на расстоянии l=3 м от нее находится экран. Какое число к зон Френеля укладывается в отверстие диафрагмы? Каким будет центр дифракционной картины на экране: темным или светлым?

Дано:

=600 нм=6ּ

d=6 мм=6ּм

b=3 м

_______________

к-?

Решение:

Пусть в отверстии диафрагмы укладывается к зон Френеля, тогда радиус к-й зоны равен радиусу диафрагмы

Отсюда:

Вычисление:

Ответ: к=5 зон Френеля укладывается в отверстие диафрагмы.

Задача 2

Дифракционная картина наблюдается на расстоянии l от точечного источника монохроматического света (=600 нм). На расстоянии а=0,5l от источника помещена круглая непрозрачная преграда диаметром D=1 см. Найти расстояние l, если преграда закрывает только центральную зону Френеля.

Дано:

D=1 см=м

=600 нм=6

а=0,5l

_____________

l-?

Решение:

Радиус центральной зоны Френеля равен:

Кроме того, .

По условию a+b=l; a=b=0,5l, тогда

Отсюда

Вычисление:

Ответ: расстояние l от дифракционной картины до точечного источника равна l=167 м.

Задача 3

На щель шириной а=20 мкм падает нормально параллельный пучок монохроматического света (λ=500 нм). Найти ширину А изображения щели на экране, удаленном от щели на расстояние l=1 м. шириной изображения считать расстояние между первыми дифракционными минимумами, расположенными по обе стороны от главного максимума освещенности.

Дано:

а=20 мкм=20м

λ=500 нм

l=1 м

_________________

А-?

Решение:

Из рисунка видно, что . Поскольку угол φ мал, то можно принять . Тогда

(1)

Условие максимумов интенсивности света.

Откуда при к=1

(2)

Подставим выражение (2) в уравнение (1) и получим:

Вычисление:

Ответ: ширина изображения А=0,05 м.

Задача 4

Световая волна длиной 530 нм падает перпендикулярно на прозрачную дифракционную решетку, постоянная которой равна 1,8 мкм. Определить угол дифракции, под которым образуется максимум наибольшего порядка.

Дано:

λ = 5,3 ۰ 10^-7 м

d = 1,8 ۰ 10^-6 м

к = к_макс

______________

α – ?

Решение:

Из формулы дифракционной решетки выразим синус угла дифракции и определим максимум наибольшего порядка:

. Так как , то

, откуда

Максимум наибольшего порядка к_макс = 3.

Определим угол дифракции при максимуме наибольшего порядка:

.

Подставим числовые значения

, α = 62^о.

Ответ: угол дифракции
α = 62^о.

Задача 5

Какое фокусное расстояние F должна иметь линза, проектирующая на экран спектр, полученный при помощи дифракционной решетки, чтобы расстояние между двумя линиями калия λ₁ = 404,4 нм и λ₂ = 404,7 нм в спектре первого порядка было равным l = 0,1 мм ? Постоянная решетки d = 2 мкм.

Дано:

λ₁ = 404,4 нм

λ₂ = 404,7 нм

l = 0,1 мм = 0,1۰10^-3 м

d = 2 мкм = 2 ۰ 10^-6 м

___________________

F – ?

Решение:

Расстояние от решетки до линзы равно расстоянию от линзы до экрана и равно фокусному расстоянию линзы. Из рисунка видно, что расстояние , а . Поскольку х₂ - х_{1 =} l , то можно записать

– (1)

Так как есть приращение функции , то можно принять

– (2).

Кроме того, – (3).

Подставив (3) в (2) и вычислив производные, найдем

– (4).

По формуле дифракционной решетки ; , откуда и . Тогда уравнение (4) можно записать в виде

, откуда – (6)

Величину найдем из соотношения ;

Вычисление:

Подставим полученные данные в уравнение (6):

Ответ: линза должна иметь фокусное расстояние F = 0,65 м.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Какое число штрихов N на единицу длины имеет дифракционная решетка, если зеленая линия ртути (λ=546,1нм) в спектре первого порядка наблюдается под углом φ=19º8΄ ?
   
2. На рисунке приведена схема дырочной камеры и вид изображения «стрелки» при размерах отверстия: 3 мм; 1 мм; 0,5 мм; 0,03 мм. Объясните различия изображений.
   

1. На щель шириной а=6
   λ падает нормально пучок света с длиной волны λ. Под каким углом φ
   будет наблюдаться третий дифракционный минимум света?
   
2. Построить примерный график зависимости интенсивности I от sin
   φ для дифракционной решетки с числом штрихов N = 5 и отношением периода решетки к ширине щели d/b = 2.
   
3. Определить разность хода волн длиной 540 нм, прошедших через дифракционную решетку и образовавших максимум второго порядка.
   
4. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии l от точечного источника монохроматического света (λ=600 нм). На расстоянии а=0,5 l от источника помещена круглая непрозрачная преграда диаметром D=1 см. Найти расстояние l, если преграда закрывает только центральную зону Френеля.
   
5. Найти наибольший порядок к спектра для желтой линии натрия (λ=589 нм), если постоянная дифракционной решетки d=2 мкм.
   
6. Точечный источник света с λ = 500 нм помещен на расстоянии а = 0,500 м перед непрозрачной преградой с отверстием радиуса r = 0,500 мм. Определить расстояние b от преграды до точки, для которой число m открываемых отверстием зон Френеля будет равно: а) 1, б) 5, в) 10.
   
7. Линза с фокусным расстоянием F = 50 см и диаметром D = 5 см освещается параллельным монохроматическим пучком света с длиной волны λ = 630 нм. Найти, во сколько раз интенсивность волны I в фокусе линзы превышает интенсивность волны I₀,, падающей на линзу. Оценить размер b пятна в фокальной плоскости.
   
8. Свет, падающий на дифракционную решетку нормально, состоит из двух резких спектральных линий с длинами волн λ₁ = 490 нм (голубой свет) и λ₂ = 600 нм (оранжевый свет). Первый дифракционный максимум для линии с длиной волны λ₁ располагается под углом φ₁=10,0^о. Найти угловое расстояние ∆φ между линиями в спектре 2-го порядка.
   

Под каким углом к горизонту должно находиться Солнце, чтобы его лучи, отраженные от поверхности озера, были наиболее поляризованы?

Решение:

Пусть i – угол падения солнечных лучей, - угол между направлением на Солнце и горизонтом. По закону Брюстера

tg=n,

где n=1,33 – показатель преломления воды. Тогда

i=arctg (n)

=90º-i

Вычисление:

i=arctg (1,33)=53º

=90º-53º=37º

Ответ: Солнце должно находиться под углом =37 º

Задача 2

Луч света проходит через жидкость, налитую в стеклянный (
=1,5) сосуд, и отражается от дна. Отраженный луч полностью поляризован при падении его на дно сосуда под углом =42º37′. Найти показатель преломления жидкости . Под каким углом i должен падать на дно сосуда луч света, идущий в этой жидкости, чтобы наступило полное внутреннее отражение?

Дано:

=42º37′

=1,5

_________

i, -?

Решение:

По закону Брюстера

откуда выразим .

Полное внутреннее отражение наступает при условии

Вычисление:

Ответ: показатель преломления жидкости =1,63, угол падения i = 67º.

Задача 3

Найти коэффициент отражения
естественного света, падающего на стекло (n=1,54) под углом
полной поляризации. Найти степень поляризации Р лучей, прошедших в стекло.

Дано:

n=1,54

________

, Р – ?

Решение:

Коэффициент отражения падающего света

,

где причем

В нашем случае при падении под углом полной поляризации

следовательно =57º.

Так как +=90º, то угол преломления =33º и -=24º,

поэтому ,

,

т. е. в отраженном свете при угле падения, равном углу полной поляризации, колебания происходят только в плоскости, перпендикулярной к плоскости падения. При этом

,

т. е. отражается от стекла только 8,3% энергии падающих естественных лучей. Следовательно, энергия колебаний, перпендикулярных к плоскости падения и прошедших во вторую среду, будет составлять 41,7% от общей энергии лучей, упавших на границу раздела, а энергия колебаний, лежавших в плоскости падения, равна 50%. Степень поляризации лучей, прошедших во вторую среду, равна

Ответ: коэффициент отражения =8,3%
, степень поляризации Р=9,1%.

Задача 4

Естественный свет проходит через поляризатор и анализатор, поставленные так, что угол между их главными плоскостями равен φ. Как поляризатор, так и анализатор поглощают и отражают 8 % падающего на них света. Оказалось, что интенсивность луча, вышедшего из анализатора, равна 9 % интенсивности естественного света, падающего на поляризатор. Найти угол φ ?

Решение:

Согласно закону Малюса интенсивность света, прошедшего через поляризатор и анализатор, – (1),

где – интенсивность естественного света с учетом поглощения и отражения поляризатора и анализатора. Интенсивность света, прошедшего через поляризатор, равна – (2).

Интенсивность света, прошедшего через анализатор с учетом (2), равна

– (3).

По условию интенсивность света, вышедшего из анализатора,

– (4).

Из формулы (1) имеем: , откуда угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора – (5).

Подставим (3) и (4) в (5).

Вычисление:

Ответ: угол между главными плоскостями φ = 70^о54′.

Задача 5

Пучок частично-поляризованного света рассматривается через николь. Первоначально николь установлен так, что его плоскость пропускания параллельна плоскости колебаний линейно-поляризованного света. При повороте николя на угол φ=60° интенсивность пропускаемого им света уменьшилась в k=2 раза. Определить отношение I_e/I_п интенсивностей естественного и линейно-поляризованного света, составляющих данный частично-поляризованный свет, а также степень поляризации Р пучка света.

Дано:

φ=60°

k=2

________

I_e/I_п – ?

Р – ?

Решение.

Отношение интенсивности I_e
естественного света к интенсивности I_п
поляризованного света найдем из следующих соображений. При первоначальном положении николя он полностью пропустит линейно-поляризованный свет и половину интенсивности естественного света. Общая интенсивность пропущенного при этом света

I₁ = I_п + ½ I_e.

При втором положении николя интенсивность пропущенного поляризованного света определится по закону Малюса, а интенсивность пропущенного естественного света, как и в первом случае, будет равна половине интенсивности естественного света, падающего на николь. Общая интенсивность во втором случае

I₂ = I_п cos²φ + ½ I_e.

В соответствии с условием задачи I₁ = kI₂
или

I_п + ½ I_e = k(I_п cos²φ + ½ I_e).

Подставив сюда значение угла φ, k и произведя вычисления, получим

I_e/I_п = 1, или I_e = I_п ,

т. е. интенсивности естественного и поляризованного света в заданном пучке равны между собой.

Степень поляризации частично-поляризованного света определяется соотношением

P = (I_max – I_min)(I_max + I_min), (1)

где I_max и I_min — соответственно максимальная и минимальная интенсивности света, пропущенного через николь.

Максимальная интенсивность I_max = I₁= I_п + ½I_е , или, учитывая, что I_п = I_е,

I_max = 3/2 I_п .

Минимальная интенсивность соответствует положению николя, при котором плоскость пропускания его перпендикулярна плоскости колебаний линейно-поляризованного света. При таком положении николя поляризованный свет будет полностью погашен и через николь пройдет только половина интенсивности естественного света. Общая интенсивность выразится равенством

I_min = ½ I_e = ½ I_п .

Подставив найденные выражения в I_max и I_min в формулу (1), получим

.

Ответ: степень поляризации пучка света Р = 1/2 .

Задачи для самостоятельного решения:

1. Почему никогда не может получиться интерференция обыкновенного и необыкновенного лучей, вышедших из пластинки двоякопреломляющего кристала, настолько тонкой, что она не дает заметного разделения лучей?
   

1. Почему демонстрационные опыты по интерференции поляризованных лучей удобнее делать с тонкими, а не с толстыми пластинками? Почему даже с тонкими пластинками из исландского шпата трудно получить интерференционную картину в белом свете?
   
2. Останется ли справедливым закон Брюстера для радиоволн, если магнитные проницаемости сред отличны от единицы?
   
3. Как получить свет, поляризованный по кругу?
   
4. Пользуясь формулами Френеля, показать, что линейно поляризованный свет остается линейно поляризованным после отражения на границе раздела двух прозрачных изотропных сред во всех случаях, за исключением случаев полного отражения.
   
5. Найти угол Брюстера для света, отраженного от стекла. Найти для этого угла степень поляризации преломленного света, т. е. величину
   

   
   , где - интенсивности отраженных волн, поляризованных в плоскости падения и перпендикулярно к ней. Падающий свет – естественный.
   

   1. Кварцевая пластинка толщиной 1 мм вырезана перпендикулярно к оптической оси. Как определить, из право- или левовращающего кварца сделана пластинка, имея в своем распоряжении два николя и источник: 1) монохроматического света; 2) белого света?
      
   2. Один поляроид пропускает 30 % света, если на него падает естественный свет. После прохождения света через два таких поляроида интенсивность падает до 9 %. Найти угол φ между осями поляроидов.
      
   3. Плоскополяризованный свет интенсивности I_о = 100 лм/м² проходит через два совершенных поляризатора, в плоскости которых образуют с плоскостью колебаний в исходном луче углы α₁ = 20,0^о и α₂ = 50,0^о (углы отсчитываются от плоскости колебаний по часовой стрелке, если смотреть вдоль луча). Определить интенсивность света I по выходе из второго поляризатора.
      

Имеются два одинаковых несовершенных поляризатора, каждый из которых в отдельности обусловливает степень поляризации Р₁ = 0,800. какова будет степень поляризации света, прошедшего последовательно через оба поляризатора, если плоскости поляризаторов: а) параллельны; б) перпендикулярны друг другу?

В 1849 г. французский физик Физо поставил следующий опыт. Свет от источника а падал на зеркало б , расположенное на расстоянии s=3,733 км, и отражаясь, падал в глаз наблюдателя. Быстро вращающийся зубчатый диск, пропуская порцию света, за время t , в течении которого свет шел до зеркала и обратно, мог повернуться так, что загораживал своим ближайшим зубцом путь отраженному свету и наблюдатель не видел его. Какое значение скорости света было получено в этом опыте, если диск, имеющий N=720 зубцов, вращался со скоростью n=29,2 об/с ?

Дано:

s=3,733 км

N=720

n=29,2 об/с

____________

-?

Решение:

За время t диск поворачивается на один зубец, т. е. на полного оборота . Время одного оборота .

Следовательно, .

Найдем скорость света

; c=4Nsn

Вычисление:

Ответ: скорость света с=315000 км/с.

Задача 2

Система отсчета движется относительно системы отсчета К со скоростью . Частица движется относительно системы отсчета со скоростью . Определите скорость частицы в системе отсчета К.

Решение:

По релятивистскому закону сложения скоростей

т. е.

Анализируя полученный результат, целесообразно показать, что по классическому закону сложения скоростей было бы

, т. е. , т. е. ,

что недопустимо, так как скорость света в вакууме является предельной скоростью передачи сигнала.

Задача 3

Из точки А на спутник, летящий со скоростью , падает лазерный луч с частотой . Отраженный луч регистрируется в точке В. Найти частоту принимаемого на Земле сигнала. Оценить разрешающую способность R регистрирующего спектрального прибора, необходимую для обнаружения релятивистской поправки к смещению частоты.

Дано:

_______

R, – ?

Решение:

Перейдем в систему, в которой спутник покоится. Частота приходящего на спутник сигнала равна

Такую же частоту в системе, связанной со спутником, будет иметь отраженный сигнал. Перейдя теперь снова к системе, связанной с Землей, обнаружим в точке В сигнал с частотой

.

Релятивистская поправка к частоте есть

.

Отсюда следует, что разрешающая способность R спектрального прибора должно быть

.

Ответ: разрешающая способность прибора R ≈10⁹.

Задача 4

С целью проверки теории относительности предполагается с помощью радиоволн точно измерить параметры орбиты спутника Земли. Однако из-за преломления радиоволн в ионосфере, где средняя концентрация электронов N = 10⁵ см^-3 , возникают ошибки измерений. Оценить минимальную частоту , на которой следует проводить такие наблюдения.

Дано:

N = 10⁵ см^-3

__________

– ?

Решение:

Поправки, обусловленные теорией относительности, составляют (/с)² часть от измеряемых величин. Показатель преломления для плазмы отличен от единицы на величину

,

где e и m_e – заряд и масса электрона. Поскольку состояние ионосферы (плотность электронов) меняется неконтролируемым образом, для надежного обнаружения эффектов, предсказываемых теорий относительности, ошибка измерения параметров орбиты не должна превышать
. Таким образом,

.

Отсюда

(Гц).

Ответ: ≈ 0,8۰10¹¹ Гц.

Задача 5

Измерение дисперсии показателя преломления оптического стекла дало n₁ = 1,528 для λ₁ = 0,434 мкм и n₂ = 1,523 для λ₂ = 0,486 мкм. Вычислить отношение групповой скорости к фазовой скорости для света с длиной волны 0,434 мкм.

Дано:

n₁ = 1,528

n₂ = 1,523

λ₁ = 0,434 мкм = 0,434۰10^-6 м

λ₂ = 0,486 мкм = 0,486۰10^-6 м

__________________________

– ?

Решение:

Зависимость групповой скорости u от показателя преломления n и длины волны λ имеет вид:

(1)

где с – скорость света в вакууме.

Фазовая скорость определяется как

(2)

Разделив выражение (1) на (2), получим:

Средняя дисперсия:       

Для длины волны λ₁ и средней дисперсии имеем:

Вычисления:

Ответ: отношение групповой скорости к фазовой    .

Задачи для самостоятельного решения:

1. Почему сначала бывает видна вспышка молнии, а потом через некоторое время доносятся раскаты грома? Как можно рассчитать расстояние до того места, где произошли электрические разряды?
   
2. Какое время пройдет на Земле, если в космическом корабле, движущемся со скоростью =0,8 с относительно Земли, пройдет 21 год?
   
3. В опыте, аналогично тому, посредством которого Физо определял коэффициент увлечения мирового эфира водой, суммарный путь света в воде 2l = 2,00 м. Длина волны света λ₀ = 600 нм. Определить число полос ∆ N, на которое смещается интерференционная картина при приведении воды в движение со скоростью u = 6,00 м/с. Показатель преломления воды n = 1,33.
   
4. Две ракеты движутся на встречу друг другу со скоростями = 0,6 с и = 0,9 с относительно неподвижного наблюдателя. Определить скорость сближения ракет по классической и релятивистской формулам сложения скоростей.
   
5. Тело М движется относительно системы отсчета В со скоростью u’ = 0,2 с, а относительно неподвижной системы А – со скоростью u = 0,8 с, где с – скорость света. С какой скоростью движется система отсчета В относительно системы А?
   

1. С какой скоростью будет двигаться космический корабль относительно Земли, принятой за неподвижную систему отсчета, если ход времени на корабле замедлится в 2 раза с точки зрения земного наблюдателя?
   
2. Какое время пройдет на Земле, если в космическом корабле, движущемся со скоростью = 0,8 с относительно Земли, пройдет 21 год?
   
3. Схема опыта Майкельсона по определению скорости света изображена на рисунке. Расстояние АВ = l = 35,5 км. С какой частотой должна вращаться восьмигранная зеркальная призма К, чтобы источник света S был виден в трубу Т? расстояние ОВ мало по сравнению с расстоянием АВ.
   

1. Два тела движутся равномерно и прямолинейно в противоположных направлениях со скоростями υ₁ = 0,8с и υ₂ = 0,5 с относительно неподвижного наблюдателя. Определить скорость удаления этих тел по классической и релятивистской формулам сложения скоростей.
   
2. Эффект Доплера позволил открыть двойные звезды столь удаленные, что разрешение их с помощью телескопа оказалось невозможным. Спектральные линии таких звезд периодически становятся двойными, из чего можно предположить, что источником являются две звезды, обращающиеся вокруг их центра масс. Считая массы обеих звезд одинаковыми, найти расстояние между ними и их массы, если максимальное расщепление спектральных линий равно (∆λ/ λ)_m = 1,2۰10^-4, причем оно возникает через каждые τ = 30 дней.
   

Задача 1

На рисунке приведен график зависимости показателя преломления стекла от длины. Определите скорость световых волн в стекле (n=1,6), если м.

Дано:

м.

_________

-?

Решение:

По графику определяем, что длина волны =800 нм соответствует показатель преломления n=1,6. Тогда

Вычисление:

Ответ: скорость световых волн в стекле

Задача 2

При нагревании абсолютно черного тела длина волны , на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, изменилась от 690 до 500 нм. Во сколько раз увеличилась при этом энергетическая светимость тела?

Дано:

=500 нм

=690 нм

__________

-?

Решение: Из первого закона Вина . Напишем его для условия нашей задачи

(1)

(2)

Приравнивая левые части уравнений (1) и (2), получаем

или (3)

По закону Стефана-Больцмана для абсолютно черного тела энергетическая светимость

Из формулы (4) находим:

(5)

Подставляя уравнение (3) в (5) получаем:

Вычисление:

Ответ: энергетическая светимость тела увеличится в 3,63 раза.

Задача 3

Абсолютно черное тело имеет температуру =2900 К. В результате остывания тела длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, изменилась на =9 мкм. До какой температуры охладилось тело?

Дано:

=2900 К

=9 мкм

__________

-?

Решение:

Из первого закона Вина выразим

(1)

(2)

Изменение длины волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости,

(3)

Подставляя выражения (1) и (2) в (3), получаем

,

откуда

Вычисление:

Ответ: тело охладилось до =290 К.

Задача 4

При облучении люминофора ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ_п = 200 нм возникает видимое излучение с длиной волны λ_и = 500 нм. Какая часть энергии поглощенного кванта израсходована на неоптические процессы? (Ответ выразить в электрон-вольтах и джоулях.)

Дано:

λ_п = 200 нм = 2۰10^-7 м

λ_и = 500 нм = 5۰10^-7 м

с = 3۰10⁸ м/с

h = 6,62۰10 ^-34 Дж۰с

____________________

∆Е – ? k – ?

Решение:

На основании закона сохранения энергии составим уравнение и решим его относительно ∆Е:

, ,

Определим, какая часть поглощенной энергии израсходована на неоптические процессы:

Ответ: ∆Е = 3,72 эВ, k = 0,6.

Задача 5

На сколько уменьшится масса Солнца за год вследствие излучения? За какое время τ масса Солнца уменьшится вдвое? Температура поверхности Солнца Т = 5800 К. Излучение Солнца считать постоянным.

Дано:

Т = 5800 К

__________

m -?

τ - ?

Решение:

Мощность, излучаемая Солнцем, равна

(1)

где R_э – энергетическая светимость Солнца. Площадь его поверхности:

, (2)

где R_c – 6,96۰10⁸ м – радиус Солнца.

По закону Стефана-Больцмана (3).

Подставляя (2) и (3) в (1), получаем (4).

Изменению энергии Солнца за счет излучения (5).

С другой стороны, (6),

где с = 3۰10⁸ м/с – скорость света, ∆m – изменение массы Солнца.

Приравнивая правые части уравнений (5) и (6), получаем

,

откуда изменение массы Солнца

(7).

Подставляя (4) в (7), получаем

Если , М_с = 1,989۰10³⁰ кг – масса Солнца, то

(лет).

Ответ: Солнце уменьшится на . Солнце уменьшится вдвое за лет.

Задача 6

Русский астроном Ф.А. Бредихин объяснил форму кометных хвостов световым давление солнечных лучей. Найти световое давление Р солнечных лучей на абсолютна черное тело, помещенное на таком же расстоянии от Солнца, как и Земля. Какую массу должна иметь частица в кометном хвосте, помещенная на этом расстоянии, чтобы сила светового давления на нее уравновешивалась силой притяжения частицы Солнцем? Площадь частицы, отражающую все падающее на нее лучи, считать равной S = 0,5 ۰10^-12 м². Солнечная постоянная К = 1,37 кВт/м².

Дано:

S = 0,5 ۰10^-12 м²

К = 1,37 кВт/м²

F₁ = F₂

______________

m – ?

Р - ?

Решение:

Световое давление .

В условиях данной задачи Е = К; ρ = 0. Тогда

Па.

Сила светового давления F₁ = PS,

Сила притяжения частицы Солнцем

где М – масса Солнца.

По условию F₁ = F₂ , то есть

откуда масса частицы

Вычисление:

(Па)

Ответ: давление солнечных лучей на абсолютно черное тело
, масса частицы .

Задача 7

В одном из опытов по фотоэффекту металлическая пластинка освещалась светом длиной волны 420 нм. Работа выхода электрона с поверхности пластины равна 2 эВ. При какой задерживающей разности потенциалов прекратится фототок?

Дано:

А=2 эВ=Дж

_________

-?

Решение:

По закону Эйнштейна для фотоэффекта кинетическая энергия вылетевших фотоэлектронов равна разности энергии и работы выхода:

Вылет электронов прекратится, когда потенциальная энергия электрона в задерживающем поле станет равной его кинетической энергии:

,

где е – заряд электрона, -задерживающий потенциал. Из уравнений (1) и (2) получим:

,

где .

Отсюда задерживающая разность потенциалов равна:

Вычисление:

Ответ: задерживающая разность потенциалов равна =0,95 В.

Задача 8

Наибольшая длина световой волны , при которой может иметь место фотоэффект для вольфрама, равна 2750 . Найти работу выхода электрона А из вольфрама; наибольшую скорость электронов, вырываемых из вольфрама с длиной волны , равной 1800 ; наибольшую энергию этих электронов.

Дано:

=2750

=1800

__________

А, , -?

Решение:

Наибольшая длина волны , при которой может иметь место фотоэффект для вольфрама, связана с красной границей фотоэффекта для этого металла соотношением

(1)

Работа выхода электронов из металла равна , а с учетом (1) выражения .

По формуле Эйнштейна для фотоэффекта, учитывая, что , найдем

,

откуда

Зная наибольшую скорость вылетевших электронов , найдем соответствующую ей наибольшую кинетическую энергию:

Вычисление:

Ответ: работа выхода электрона А=
Дж, наибольшая скорость электронов (м/с), наибольшая энергия электронов Дж.

Задача 9

Определить длинноволновую границу непрерывного рентгеновского излучения, возникающего в рентгеновской трубке, работающей под напряжением 50 кВт, если в энергию электромагнитного поля превращается 1% кинетической энергии электронов.

Дано:

U = 5۰10⁴ В

η = 0,01

с = 3۰10⁸ м/с

h = 6,62۰10^-34 Дж۰с

_________________

λ_макс – ?

Решение:

Рентгеновское излучение с максимальной длиной волны имеет кванты самой меньшей энергии в непрерывном спектре. Минимальной энергией будут обладать кванты рентгеновского излучения, если только 0,01 кинетической энергии электрона в момент торможения превратиться в энергию электромагнитного поля то есть

.

Отсюда

Вычисление:

Ответ: длинноволновая граница непрерывного рентгеновского излучения

= 2,48 нм.

Задача 10

В результате комптоновского рассеяния фотона на покоящемся электроне последний получил импульс отдачи р. Определить, под какими углами по отношению к направлению падающего фотона мог вылететь электрон с таким импульсом.

Решение:

Обозначим начальную энергию фотона , конечную – , угол рассеяния фотона θ, кинетическую энергию электрона W_к, импульс р , угол вылета электрона φ. Запишем законы сохранения энергии и импульса:

, ,

;

отсюда найдем

,

если . Окончательно получим

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения:

1. Свет имеет частоты от до Гц. Каков интервал длин волн у видимого излучения?
   
2. Температура Т абсолютно черного тела изменилась при нагревании от 1000 до 3000 К. Во сколько раз увеличилась при этом его энергетическая светимость ? Во сколько раз увеличилась его максимальная спектральная плотность энергетической светимости r ?
   
3. Зачерненный шарик остывает от температуры =300 К до =293 К. На сколько изменилась длина волны , соответствующая максимуму спектральной плотности его энергетической светимости?
   
4. Энергетическая светимость абсолютно черного тела R = 250 кВт/м². На какую длину волны λ_м приходится максимум испускательной способности этого тела?
   
5. Какаю мощность N надо подводить к зачерненному металлическому шарику радиусом r = 2 см, чтобы поддерживать его температуру на ∆Т = 27 К выше температуры окружающей среды? Температура окружающей среды Т = 293 К. Считать, что тепло теряется только вследствие излучения.
   
6. В каком случае давление света больше: при падении его на зеркальную поверхность или на черную?
   
7. При комптоновском рассеянии энергия падающего фотона распределяется поровну между рассеянным фотоном и электроном отдачи. Угол рассеяния . Найти энергию W и импульс р рассеянного фотона.
   
8. Плотность потока солнечного излучения, приходящего на Землю, равна 1,4۰10³ Вт/м² . Какое световое давление производит солнечное излучение на поверхность, коэффициент отражения которого равен единице (идеально зеркальная поверхность)?
   
9. Цезий освещают желтым монохроматическим светом с длиной волны м. Работа выхода электрона Дж. Определите кинетическую энергию вылетающих из цезия фотоэлектронов?
   
10. Найти постоянную Планка h, если известно, что электроны, вырываемые из металла светом с частотой Гц, полностью задерживаются разностью потенциалов В, а вырываемые светом с частотой Гц – разностью потенциалов В.
    
11. Найти частоту света , вырывающего из металла электроны, которые полностью задерживаются разностью потенциалов U=3 В. Фотоэффект сжимается при частоте света Гц. Найти работу А электрона из металла.
    

Масса нейтрального атома ¹⁶O m_ат(A,Z) = 15.9949 а.е.м. Определить удельную энергию связи ядра ¹⁶O.

Решение.

Удельная энергия связи ядра

(A,Z) = E_св(A,Z)/A,

где E_св (A,Z) – энергия связи ядра, A – массовое число. Полная энергия связи ядра

E_св (A,Z) = [Zm_p + (A-Z)m_n - m_я(A,Z)]c² = [Zm_p + (A-Z)m_n - m_ат(A,Z) - Zm_e]c²

Используя энергетические единицы для масс 1а.е.м.= 931.49 МэВ, получаем для ядра ¹⁶O

= 7.5 МэВ/нуклон.

Задача 2.

На каком расстоянии интенсивность пучка мюонов с кинетической энергией T = 0.5 ГэВ, движущихся в вакууме, уменьшается до половины первоначального значения?

Решение.

Уменьшение интенсивности пучка мюонов происходит в результате распада мюонов

Число мюонов N(t), не распавшихся к моменту времени t, определяется соотношением

N(t) = N(0) exp(-t/),                     (1)

где - среднее время жизни мюона, N(0) – число мюонов в начальный момент времени. Среднее время жизни покоящихся мюонов равно 2.2·10^{- 6} с. В данном случае

N(t) = N(0)/2 = N(0) exp(-t/),                  (2)

то есть exp(- t/) = 1/2, или же t = ln2. Релятивистское замедление течения времени определяется соотношением

(3)

где t₀ – время в системе, связанной с движущимся телом. В нашем случае получаем

(4)

Связь между кинетической энергией T и импульсом p частицы

(5)

Релятивистский импульс частицы

(6)

где m – масса покоя частицы, v – ее скорость. Из (5) и (6) получим

(7)

Энергия покоя mc² мюона 106 МэВ. Пробег мюона

l = vt                             (8)

Подставляя в (8) (4) и (7), получим

Задача 3.

Массы нейтральных атомов в а.е.м.: ¹⁶O – 15.9949, ¹⁵O – 15.0030, ¹⁵N – 15.0001. Чему равны энергии отделения нейтрона и протона в ядре ¹⁶O?

Решение.

Энергия отделения нейтрона

_n(A,Z) = m_n +m(A-1,Z) – m(A,Z),

протона

_p(A,Z) = m_p +m(A-1,Z-1) – m(A,Z).

В обеих формулах массы должны быть в энергетических единицах.

Для ядра ¹⁶O

_n = 939.6 МэВ + (15.0030 а.е.м. – 15.9949 а.е.м.)^х931.5 МэВ = 15.6 МэВ,
_p = 938.3 МэВ + (15.0001 а.е.м. – 15.9949 а.е.м.)^х931.5 МэВ = 15.6 МэВ.

Задача 4.

Ядро ¹⁰B из возбужденного состояния с энергией 0.72 МэВ распадается путем испускания -квантов с периодом полураспада T_1/2 = 6.7·10^-10 с. Оценить неопределенность в энергии E испущенного -кванта.

Решение.

Из соотношения неопределенностей Гейзенберга получим

где -среднее время жизни возбужденного состояния.

Задача 5.

Рассчитать длины волн протона и электрона с кинетической энергией T = 10 МэВ.

Решение.

Протон нерелятивистский (T_p << m_pc²). В этом случае

,

учитывая, что c = 197 МэВ·Фм, имеем

Электрон релятивистский (T_e >> m_ec²). В этом случае

Задача 6.

Протон, электрон и фотон имеют одинаковую длину волны = 10^-
9 см. Какое время t им необходимо для пролета расстояния L = 10 м?

Решение.

Для протона и электрона:

т.е.

откуда получаем, что

Время пролета

.

Протон:        

Электрон:        

Фотон:             

Задача 7.

Длина волны фотона = 3·10^-11см. Вычислить импульс p фотона.

Решение.

Задачи для самостоятельного решения:

1. Пользуясь таблицей масс атомов, вычислить удельную энергию связи для ядер ₂Не³, ₂Не⁴.Какой из этих изотопов является более устойчивым?

2. Вычислить минимальную энергию, необходимую для удаления одного нейтрона из ядра ₇N¹⁴.

3. Вычислить массы ионов лития ₃Li⁷— однозарядного, двухзарядного и трехзарядного (ядра лития)

4. Химический элемент кислород представляет собой смесь трех изотопов:

₈О¹⁶, ₈О¹⁷, ₈О¹⁸,

массы которых в у. е. соответственно равны

15,99491, 16,99913, 17,99916,

а распространённость

99,759%, 0,037%, 0,204%.

Вычислить по этим данным относительную атомную массу (атомный вес) элемента кислорода.

Активность препарата ³²P равна 2 мкКи. Сколько весит такой препарат?

Решение.

Закон радиоактивного распада:

,

где N₀ – количество радиоактивных ядер в произвольно выбранный начальный момент времени t = 0, N(t) – количество радиоактивных ядер, не распавшихся к моменту времени t, - постоянная распада (вероятность распада в единицу времени). N – активность (интенсивность излучения) радиоактивного препарата, измеряется в Ки, 1 Ки = 3.7·10¹⁰ распадов/с. T_1/2 – период полураспада данного ядра (время, в течение которого количество радиоактивных ядер уменьшается в два раза) равен для ³²P 14.5 суток. Период полураспада T_1/2 связан с постоянной распада соотношением T_1/2 = ln 2/. Количество ядер в образце массой m грамм

где N_A – число Авогадро, A – массовое число. Активность препарата

тогда его масса будет

= 7.1·10^-12 г.

Задача 2.

Во сколько раз число распадов ядер радиоактивного иода ¹³¹I в течение первых суток больше числа распадов в течение вторых суток? Период полураспада изотопа ¹³¹I равен 193 часам.

Решение.

Из закона радиоактивного распада N(t) = N₀ следует, что в течение первых суток (первых 24 часов) распалось ядер. В течение вторых суток распалось ядер. Отношение числа распадов за первые сутки к числу распадов за вторые сутки , где T_1/2- период полураспада ¹³¹I в часах, связанный с соотношением T_1/2 = ln2/= 0.693/.

Окончательно .

Задача 3.

Определить энергию W, выделяемую 1 мг препарата ²¹⁰Po за время, равное среднему времени жизни, если при одном акте распада выделяется энергия E = 5.4 МэВ.

Решение.

Количество ядер радиоактивного препарата за среднее время жизни уменьшается в e = 2.718 раз. Тогда количество распавшихся за это время ядер будет D = 1 – 1/2.718 = 0.632 от их первоначального числа. Начальное число ядер N
в образце массой m грамм определяется из соотношения N = mN_A/A, где N_A – число Авогадро, A – массовое число. Количество энергии, выделившейся за время, равное среднему времени жизни изотопа ²¹⁰Po

.

Задача 4.

Определить верхнюю границу возраста Земли, считая, что весь имеющийся на Земле ⁴⁰Ar образовался из ⁴⁰K в результате e-захвата. В настоящее время на каждые 300 атомов ⁴⁰Ar приходится один атом ⁴⁰K.

Решение.

Число нераспавшихся к настоящему времени ядер ⁴⁰K

,

где N₀ – начальное число ядер ⁴⁰K в момент образования Земли, t – возраст Земли. T_1/2 – период полураспада ⁴⁰K, составляющий 1.277·10⁹ лет. При радиоактивном распаде ⁴⁰K путем e- захвата распадается только 10.67% ядер, поэтому число ядер аргона к настоящему времени будет

.

Получаем уравнение:

,

откуда

Задача 5.

Перечислить несколько ядерных реакций, в которых может образоваться изотоп ⁸Be.

Решение.

Используя закон сохранения заряда и закон сохранения числа нуклонов, получим

Задача 6.

Какую минимальную кинетическую энергию в лабораторной системе T_min должен иметь нейтрон, чтобы стала возможной реакция ¹⁶O(n,)¹³C?

Решение.

Минимальная энергия, при которой возможна реакция, равна порогу реакции. Вычислим энергию реакции:

Q = 8.071 – 4.737 – 2.424 -3.125 = -2.215 МэВ

Для вычисления пороговой энергии T_пор используем нерелятивистское приближение:

T_min = T_пор = 2.215(1 + 1/17) = 2.35 МэВ.

Задача 7.

Является ли реакция ⁶Li(d,)⁴He эндотермической или экзотермической? Даны удельные энергии связи ядер в МэВ: (d) = 1.11; () = 7.08; (⁶Li) = 5.33.

Решение.

Полная энергия связи ядра, выраженная через массу атома, имеет вид:

Е_св(A, Z) = Zm_H + (A – Z)m_n - M_ат(A, Z) – Zm_e) c²,         (1)

Удельная энергия связи ядра (A, Z) это энергия связи, приходящаяся на один нуклон

(A, Z) = E_св(A,Z) / A, (2)

где А – массовое число.

и Энергией реакции
называется разность масс начального и конечного состояний системы.

.                     (3)

вычислим величину энергии реакции:

==

= 247.08 – 65.33 -21.11 = 22.44 МэВ.

Реакция является эндотермической.

Задача 8.

Определить пороги T_пор реакций фоторасщепления ¹²С.

1. + ¹²С
   ¹¹С + n
   
2. + ¹²С ¹¹В + р
   
3. + ¹⁴С ¹²С + n + n
   

Решение.

Рассчитаем энергии реакций 1) – 3), используя табличные данные по избыткам масс атомов

1) Q = 0 – (8.071+10.650) = -18.721 МэВ

2) Q = 0 – (8.668 + 7.289) = -15.957 МэВ

3) Q
= 3.02 – (0 + 28.071) = -13.122 МэВ

Для пороговой энергии

, следовательно, можно записать: T_пор
Q так как для реакций 1) – 3) и

Задача 9.

Определить пороги реакций: ⁷Li(p,)⁴He и ⁷Li(p,)⁸Be.

Решение.

Рассчитаем энергии реакций: Энергией реакции называется разность масс начального и конечного состояний системы.

.

Реакция может идти с образованием в конечном состоянии возбужденных ядер. Таким образом массы их m больше, чем в основном состоянии, m = m + Е_возб/c², где Е_возб – энергия возбуждения ядра, что необходимо учитывать при расчетах по формуле.

Если Q > 0, реакция называется экзотермической и сопровождается увеличением суммарной кинетической энергии. Если Q < 0, то реакция называется эндотермической и сопровождается уменьшением суммарной кинетической энергии. Для реализации эндотермической реакции необходимо, чтобы энергия сталкивающихся частиц была больше некоторой величины, которая в системе центра инерции (с.ц.и.) тождественно равняется Q. Суммарная кинетическая энергия частиц в конечном состоянии при этом равна нулю. В лабораторной системе (л.с.) энергия, необходимая для реализации эндотермической реакции должна быть больше Q, так как часть энергии расходуется на движение центра инерции.

1) ⁷Li(p,)⁴He Q = +17.348 МэВ

2) ⁷Li(p,)⁸Be Q = +17.26

Реакции 1) – 2) экзотермические, идут при любых энергиях протонов.

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить, какая доля радиоактивного натрия ₁₁Na²⁴ распадается за 24 часа и какая доля распадается за 10 секунд. Сколько атомов распадётся за 24 часа и за 10 секунд, и чему будет равна активность и масса препарата через 24 часа, если в начальный момент активность была равна 1,0 мккюри?

2. Определить период полураспада трития ₁H³, если счетчик, помещенный возле радиоактивного препарата; дал следующие показания:

3. Определить период полураспада радия, если известно, что т = 1,00 г радия образует в течение года массу гелия, занимающего в нормальных условиях объем DV = 0,043 см³.

4. Определить возраст урановой руды, содержащей на 0,523 кг урана ₉₂U²³⁸ 0,320 кг свинца ₈₂Pb²⁰⁶ и 0,019 кг свинца ₈₂Pb²⁰⁴.

5. Определить возраст деревянного изделия, если его активность составляет 8,6 распадов в минуту на каждый грамм содержащегося в изделии углерода. Известно, что каждый грамм углерода в живом организме испускает 15,3 b-частиц в минуту.