1) многоканальные системы передачи информации;
2) кабельное телевидение;
3) локальные вычислительные сети;
4) датчики и системы сбора обработки и передачи информации;
5) связь и телемеханика на высоковольтных линиях;
6) оборудование и монтаж мобильных объектов.

Многоканальные ВОСП начинают широко использоваться на магистральных и зоновых сетях связи страны, а также для устройства соединительных линий между городскими АТС. Объясняется это большой информационной способностью ОК и их высокой помехозащищенностью. Особенно эффективны и экономичны подводные оптические магистрали.

Применение оптических систем в кабельном телевидении обеспечивает высокое качество изображения и существенно расширяет возможности информационного обслуживания индивидуальных абонентов. В этом случае реализуется заказная система приема, и предоставляется возможность абонентам получать на экране своих телевизоров изображения газетных полос, журнальных страниц и справочных данных из библиотеки и учебных центров.

На основе ОК создаются локальные вычислительные сети различной топологии (кольцевые, звездные и др.). Такие сети позволяют объединять вычислительные центры в единую информационную систему с большой пропускной способностью, повышенным качеством и защищенностью от несанкционированного допуска.

Волоконно-оптические датчики способны работать в агрессивных средах, надежны, малогабаритны и не подвержены электромагнитным воздействиям. Они позволяют оценивать на расстоянии различные физические величины (температуру, давление, ток и др.). Датчики используются в нефтегазовой промышленности, системах охранной и пожарной сигнализации, автомобильной технике и др.

Весьма перспективно применение ОК на высоковольтных линиях электропередачи (ЛЭП) для организации технологической связи и телемеханики. Оптические волокна встраиваются в фазу или трос. Здесь реализуется высокая защищенность каналов от электромагнитных воздействий ЛЭП и грозы.

Легкость, малогабаритность, невоспламеняемость ОК сделали их весьма полезными для монтажа и оборудования летательных аппаратов, судов и других мобильных устройств.

В последнее время появилось новое направление в развитии волоконно-оптической техники – использование среднего инфракрасного диапазона волн 2…10 мкм. Ожидается, что потери в этом диапазоне не будут превышать 0,02 дБ/км. Это позволит осуществить связь на большие расстояния с участками регенерации до 1000 км. Исследование фтористых и халькогенидных стекол с добавками циркония, бария и других соединений, обладающих сверхпрозрачностью в инфракрасном диапазоне волн, дает возможность еще больше увеличить длину регенерационного участка.

Ожидаются новые интересные результаты в использовании нелинейных оптических явлений, в частности соли тонного режима распространения оптических импульсов, когда импульс может распространяться без изменения формы или периодически менять свою форму в процессе распространения по световоду. Использование этого явления в волоконных световодах позволит существенно увеличить объем передаваемой информации и дальность связи без применения ретрансляторов.

Весьма перспективна реализация в ВОЛС метода частотного разделения каналов, который заключается в том, что в световод одновременно вводится излучение от нескольких источников, работающих на разных частотах, а на приемном конце с помощью оптических фильтров происходит разделение сигналов. Такой метод разделения каналов в ВОЛС получил название спектрального уплотнения, или мультиплексирования.

При построении абонентских сетей ВОЛС кроме традиционной структуры телефонной сети радиально-узлового типа предусматривается организация кольцевых сетей, обеспечивающих экономию кабеля.

Можно полагать, что в ВОСП второго поколения усиление и преобразование сигналов в регенераторах будут происходить на оптических частотах с применением элементов и схем интегральной оптики. Это упростит схемы регенерационных усилителей, улучшит их экономичность и надежность, снизит стоимость.

В третьем поколении ВОСП предполагается использовать преобразование речевых сигналов в оптические непосредственно с помощью акустических преобразователей. Уже разработан оптический телефон, и проводятся работы по созданию принципиально новых АТС, коммутирующих световые, а не электрические сигналы. Имеются примеры создания многопозиционных быстродействующих оптических переключателей, которые могут использоваться для оптической коммутации.

На базе ОК и цифровых систем передачи создается интегральная сеть многоцелевого назначения, включающая различные виды передачи информации (телефонирование, телевидение, передача данных ЭВМ и АСУ, видеотелефон, фототелеграф, передача полос газет, сообщений из банков и т. д.). В качестве унифицированного принят цифровой канал ИКМ со скоростью передачи 64 Мбит/с (или 32 Мбит/с).

Создание первых кабельных линий связано с именем русского ученого П. Л. Шиллинга. Еще в 1812 г. Шиллинг в Петербурге демонстрировал взрывы морских мин, применив для этой цели созданный им изолированный проводник.

В 1851 г. одновременно с постройкой железной дороги между Москвой и Петербургом был проложен телеграфный кабель, изолированный гуттаперчей. Первые подводные кабели были проложены в 1852 г. через Северную Двину и в 1879 г. через Каспийское море между Баку и Красноводском. В 1866 г. вступила в строй кабельная трансатлантическая магистраль телеграфной связи между Францией и США.

В 1882-1884 гг. в Москве, Петрограде, Риге, Одессе были построены первые в России городские телефонные сети. В 90-х годах прошлого столетия на городских телефонных сетях Москвы и Петрограда были подвешены первые кабели, насчитывающие до 54 жил. В 1901 г. началась постройка подземной городской телефонной сети.

Первые конструкции кабелей связи, относящиеся к началу XX века, позволили осуществлять телефонную передачу на небольшие расстояния. Это были так называемые городские телефонные кабели с воздушно-бумажной изоляцией жил и их парной скруткой. В 1900-1902 гг. была сделана успешная попытка повысить дальность передачи методами искусственного увеличения индуктивности кабелей путем включения в цепь катушек индуктивности (предложение Пупина), а также применения токопроводящих жил с ферромагнитной обмоткой (предложение Крарупа). Такие способы на том этапе позволили увеличить дальность телеграфной и телефонной связи в несколько раз.

Важным этапом в развитии техники связи явилось изобретение, а начиная с 1912-1913 гг. освоение производства электронных ламп. В 1917г. В. И. Коваленковым был разработан и испытан на линии телефонный усилитель на электронных лампах. В 1923 г. была осуществлена телефонная связь с усилителями на линии Харьков-Москва-Петроград.

В 30-х годах началось развитие многоканальных систем передачи. В последующем стремление расширить спектр передаваемых частот и увеличить пропускную способность линий привело к созданию новых типов кабелей, так называемых коаксиальных. Но массовое изготовление их относится лишь к 1935 г., к моменту появления новых высококачественных диэлектриков типа эскапона, высокочастотной керамики, полистирола, стирофлекса и т. д. Эти кабели допускают передачу энергии при частоте токов до нескольких миллионов герц и позволяют производить по ним передачу телевизионных программ на большие расстояния. Первая коаксиальная линия на 240 каналов ВЧ телефонирования была проложена в 1936 г.. По первым трансатлантическим подводным кабелям, проложенным в 1856 г., организовывали лишь телеграфную связь, и только через 100 лет, в 1956 г., была сооружена подводная коаксиальная магистраль между Европой и Америкой для многоканальной телефонной связи.

В 1965-1967 гг. появились опытные волноводные линии связи для передачи широкополосной информации, а также криогенные сверхпроводящие кабельные линии с весьма малым затуханием. С 1970 г. активно развернулись работы по созданию световодов и оптических кабелей, использующих видимое и инфракрасное излучения оптического диапазона волн.

Создание волоконного световода и получение непрерывной генерации полупроводникового лазера сыграли решающую роль в быстром развитии волоконно-оптической связи. К началу 80-х годов были разработаны и испытаны в реальных условиях волоконно-оптические системы связи. Основные сферы применения таких систем – телефонная сеть, кабельное телевидение, внутриобъектовая связь, вычислительная техника, система контроля и управления технологическими процессами и т. д.

В России и других странах проложены городские и междугородные волоконно-оптические линии связи. Им отводится ведущее место в научно-техническом прогрессе отрасли связи.

Линии связи и основные свойства ВОЛС.

На современном этапе развития общества в условиях научно-технического прогресса непрерывно возрастает объем информации. Как показывают теоретические и экспериментальные (статистические) исследования, продукция отрасли связи, выражающаяся в объеме передаваемой информации, возрастает пропорционально квадрату прироста валового продукта народного хозяйства. Это определяется необходимостью расширения взаимосвязи между различными звеньями народного хозяйства, а также увеличением объема информации в технической, научной, политической и культурной жизни общества. Повышаются требования к скорости и качеству передачи разнообразной информации, увеличиваются расстояния между абонентами. Связь необходима для оперативного управления экономикой и работы государственных органов, для повышения обороноспособности страны и удовлетворения культурно-бытовых потребностей населения.

В эпоху научно-технической революции связь стала составным звеном производственного процесса. Она используется для управления технологическими процессами, электронно-вычислительными машинами, роботами, промышленными предприятиями т. д. Непременным и одним из наиболее сложных и дорогостоящих элементов связи являются линии связи (ЛС), по которым передаются информационные электромагнитные сигналы от одного абонента (станции, передатчика, регенератора и т.д.) к другому (станции, регенератору, приемнику и т. д.) и обратно. Очевидно, что эффективность работы систем связи во многом предопределяется качеством ЛС, их свойствами и параметрами, а также зависимостью этих величин от частоты и воздействия различных факторов, включая мешающие влияния сторонних электромагнитных полей.

Различают два основных типа ЛС: линии в атмосфере (радиолинии РЛ) и направляющие линии передачи (линии связи).

Отличительной особенностью направляющих линий связи является то, что распространение сигналов в них от одного абонента (станции, устройства, элемента схемы и т. д.) к другому осуществляется только по специально созданным цепям и трактам ЛС, образующим направляющие системы, предназначенные для передачи электромагнитных сигналов в заданном направлении с должными качеством и надежностью.

В настоящее время по линиям связи передаются сигналы от постоянного тока до оптического диапазона частот, а рабочий диапазон длин волн простирается от 0,85 мкм до сотен километров.

Различают три основных типа ЛС: кабельные (КЛ), воздушные (ВЛ), волоконно-оптические (ВОЛС). Кабельные и воздушные линии относятся к проводным линиям, у которых направляющие системы образуются системами «проводник-диэлектрик», а волоконно-оптические линии представляют собой диэлектрические волноводы, направляющая система которых состоит из диэлектриков с различными показателями преломления.

Волоконно-оптические линии связи представляют собой системы для передачи световых сигналов микроволнового диапазона волн от 0,8 до 1,6 мкм по оптическим кабелям. Этот вид линий связи рассматривается как наиболее перспективный. Достоинствами ВОЛС являются низкие потери, большая пропускная способность, малые масса и габаритные размеры, экономия цветных металлов, высокая степень защищенности от внешних и взаимных помех.

1. Оптическая система

Тонкая линза представляет простейшую оптическую систему. Простые тонкие линзы применяются главным образом в виде стекол для очков. Кроме того, общеизвестно применение линзы в качестве увеличительного стекла.

Действие многих оптических приборов – проекционного фонаря, фотоаппарата и других приборов – может быть схематически уподоблено действию тонких линз. Однако тонкая линза дает хорошее изображение только в том сравнительно редком случае, когда можно ограничиться узким одноцветным пучком, идущим от источника вдоль главной оптической оси или под большим углом к ней. В большинстве же практических задач, где эти условия не выполняются, изображение, даваемое тонкой линзой, довольно несовершенно. Поэтому в большинстве случаев прибегают к построению более сложных оптических систем, имеющих большое число преломляющих поверхностей и не ограниченных требованием близости этих поверхностей (требование, которому удовлетворяет тонкая линза).

2. Фотографический аппарат

Оптический прибор, предназначенный для получения фотографических снимков находящихся перед ним предметов, называют фотографическим аппаратом. Он состоит из светопроницаемой камеры К (рис. 3.25) с подвижной передней стенкой, в которой находится объектив О.

При фотографировании предмета АВ сначала с по­мощью перемещения объ­ектива на задней стенке аппарата получают резкое изображение предмета A₁B₁. Затем объектив закрывается и на зад­ней стенке фотоаппарата помещается пластинка или пленка П, покрытая светочувствительным слоем. Затем объектив открывается на определенное время, называемое выдержкой. При этом на светочувствительном слое под действием света происходит химиче­ская реакция и возникает скрытое изображение предмета.

После проявления и закрепления с помощью специальных со­ставов изображение на пластинке или пленке становится видимым. На полученном изображении светлые места предметов оказываются темными, а темные – светлыми и прозрачными, поэтому такое изоб­ражение называют негативом. Для получения обыкновенно­го фотоснимка, который называют позитивом, на негатив накладывают светочувствительную бумагу и освещают его так, чтобы лучи попадали на бумагу сквозь негатив. Через некоторое время на бумаге возникают скрытое изображение предмета. После проявления и закрепления на ней получается уже обычная фотогра­фия предмета. С одного негатива можно получить много позитивов, т. е. фотоснимков.

Для «засвечивания» фотобумаги обычно используют фотоувеличитель (рис. 3.26).

3. Глаз как оптическая система.

Органом зрения человека являются глаза, которые во многих отношениях представляют со­бой почти совершенную оптическую систему.

В целом глаз человека – это шарообразное тело диаметром око­ло 2,5 см, которое называют глазным яблоком (рис.3.27). Непрозрачную и прочную внешнюю оболочку глаза называют склерой, а ее прозрачную и более выпуклую переднюю часть – роговицей. С внутренней стороны склера покрыта сосудистой оболочкой, состоящей из кровеносных сосудов, питающих глаз. Против ро­говицы сосудистая оболоч­ка переходит в радуж­ную оболочку, неодинаково окрашенную у различных людей, которая отделена от роговицы каме­рой с прозрачной водяни­стой массой.

В радужной оболочке имеется круглое отверстие, называемое зрачком, диаметр которого может из­меняться. Таким образом, радужная оболочка играет роль диафрагмы, регули-рующей доступ света в глаз. При ярком освещении зрачок уменьшается, а при сла­бом освещении – увеличивается. Внутри глазного яблока за ра­дужной оболочкой расположен хрусталик, который представ­ляет собой двояковыпуклую линзу из прозрачного вещества с показателем преломления около 1,4. Хрусталик окаймляет кольце­вая мышца, которая может изменять кривизну его поверхностей, а значит, и его оптическую силу.

Сосудистая оболочка с внутренней стороны глаза покрыта разветвлениями светочувствительного нерва, особенно густыми напротив зрачка. Эти разветвления образуют сетчатую оболочку, на которой получается действительное изображение предметов, создаваемое оптической системой глаза. Пространство между сетчаткой и хрусталиком заполнено прозрачным стекловидным телом, имеющим студенистое строение. Изображение предметов на сетчатке глаза получается перевернутое. Однако деятельность мозга, получающего сигналы от светочувствительного нерва, позволяет нам видеть все предметы в натуральных положениях.

Когда кольцевая мышца глаза расслаблена, то на сетчатке получается изображение далеких предметов. Вообще устройство глаза таково, что человек может видеть без напряжения предметы, расположенные не ближе 6 м от глаза. Изображение более близких предметов в этом случае получается за сетчаткой глаза. Для получения отчетливого изображения такого предмета кольцевая мышца сжимает хрусталик всё сильнее  до тех пор, пока изображение предмета не окажется на сетчатке, а затем удерживает хрусталик в сжатом состоянии.

Таким образом, «наводка на фокус» глаза человека осуществляется изменением оптической силы хрусталика с помощью кольцевой мышцы. Способность оптической системы глаза создавать отчетливые изображения предметов, находящих на различных расстояниях от него, называют аккомодацией (от латинского «аккомодацио» – приспособление). При рассматривании очень далёких предметов в глаз попадают параллельные лучи. В этом случае говорят, что глаз аккомодирован на бесконечность.

Аккомодация глаза не бесконечна. С помощью кольцевой мышцы оптическая сила глаза может увеличиваться не больше чем на 12 диоптрий. При долгом рассматривании близких предметов глаз устает, а кольцевая мышца начинает расслабляться и изображение предмета расплывается.

Глаза человека позволяют хорошо видеть предметы не только при дневном освещении. Способность глаза приспосабливаться к различной степени раздражения окончаний светочувствительного нерва на сетчатке глаза, т.е. к различной степени яркости наблюдаемых объектов называют адаптацией.

Сведение зрительных осей глаз на определенной точке называется конвергенцией. Когда предметы расположены на значительном расстоянии от человека, то при переводе  глаз с одного предмета на другой расстояние между осями глаз практически не изменяется, и человек теряет способность правильно определять положение предмета. Когда предметы находятся очень далеко, то оси глаз располагаются параллельно, и человек не может даже определить, движется предмет или нет, на который он смотрит. Некоторую роль в определении положения тел играет и усилие кольцевой мышцы, которая сжимает хрусталик при рассматривании предметов, расположенных недалеко от человека.

II. Оптические системы, вооружающие глаз.

Хотя глаз и не представляет собой тонкую линзу, в нем можно все же найти точку, через которую лучи проходят практически без преломления, т.е. точку, играющую роль оптического центра. Оптический центр глаза  находится внутри хрусталика вблизи задней его поверхности. Расстояние h от оптического центра до сетчатой оболочки, называемое глубиной глаза, составляет для нормального глаза 15 мм.

Зная положение оптического центра, можно легко построить изображение какого-либо предмета на сетчатой оболочке глаза. Изображение всегда действительное, уменьшенное  и обратное (рис.3.28,а). Угол φ, под  которым  виден предмет S₁S₂ из оптического центра О, называется углом зрения.

Сетчатая оболочка имеет сложное строение и состоит из отдельных светочувствительных элементов. Поэтому две точки объекта, расположенные настолько близко друг к другу, что их изображение на сетчатке попадают в один и тот же элемент, воспринимаются глазом, как одна точка. Минимальный угол зрения, под которым две светящихся точки или две черные точки на белом фоне воспринимаются глазом ещё раздельно, составляет приблизительно одну минуту. Глаз плохо распознает детали предмета, которые он видит под углом менее 1″. Это угол, под которым виден отрезок, длина которого 1 см на расстоянии 34 см от глаза. При плохом освещении (в сумерках) минимальный угол разрешения повышается и может дойти до 1º.

Рис. 3.28. Коррекция изображения рассматриваемых предметов: а – угол зрения φ = =S1′S2′/h = S1S2/D;

Рис. 3.28. Коррекция изображения рассматриваемых предметов: б – при увеличении угла зрения увеличивается изображение рассматриваемого предмета на сетчатке; N = b‘ / b = φ‘ / φ

Приближая предмет к глазу, мы увеличиваем угол зрения и, следовательно, получаем возможность лучше различать мелкие детали. Однако очень близко к глазу приблизить мы не можем, так как способность глаза к аккомодации ограничена. Для нормального глаза наиболее благоприятным для рассматривания предмета оказывается расстояние около 25 см, при котором глаз достаточно хорошо различает детали без чрезмерного утомления. Это расстояние называется расстоянием наилучшего зрения. Для близорукого глаза это расстояние несколько меньше, поэтому близорукие люди, помещая рассматриваемый предмет ближе к глазу, чем  люди с нормальным зрением  или дальнозоркие, видят его под большим углом зрения и могут лучше различать мелкие детали.

Значительное увеличение угла зрения достигается с помощью оптических приборов.  По своему назначению оптические приборы, вооружающие глаз, можно разбить на следующие большие группы.

1.     Приборы, служащие для рассматривания очень мелких предметов (лупа, микроскоп). Эти приборы как бы «увеличивают» рассматриваемые предметы.

2.     Приборы, предназначенные для рассматривания удаленных объектов (зрительная труба, бинокль, телескоп и т.п.). Эти приборы как бы «приближают» рассматриваемые предметы.

Благодаря увеличению угла зрения при использовании оптического прибора размер изображения предмета на сетчатке увеличивается по сравнению с изображением в невооруженном глазе и, следовательно, возрастает способность распознавания деталей. Отношение длины b на сетчатке в случае вооруженного глаза b’ к длине изображения для невооруженного глаза b (рис.3.28,б) называется увеличением оптического прибора.

Из рис. 3.28,б видно, что увеличение N равно также отношению угла зрения φ‘ при рассматривании предмета через инструмент к углу зрения φ для невооруженного глаза, ибо φ‘ и φ невелики. Итак,

,

где N – увеличение предмета;

b‘ – длина изображения на сетчатке для вооруженного глаза;

b – длина изображения на сетчатке для невооруженного глаза;

φ’ – угол зрения при рассматривании предмета через оптический инструмент;

φ – угол зрения при рассматривании предмета невооруженным глазом.

1. Лупа.

Одним из простейших оптических приборов является лупа – собирающая линза, предназначенная для рассматривания увеличенных изображений малых объектов. Линзу подносят к самому глазу, а предмет помещают между линзой и главным фокусом. Глаз увидит мнимое и увеличенное изображение предмета. Удобнее всего рассматривать предмет через лупу совершенно ненапряженным глазом, аккомодированным на бесконечность. Для этого предмет помещают в главной фокальной плоскости линзы так, что лучи, выходящие из каждой точки предмета, образуют за линзой параллельные пучки. На рис. 3.29 изображено два таких пучка, идущих от краев предмета. Попадая в аккомодированный на бесконечность глаз, пучки параллельных лучей фокусируются на ретине и дают здесь отчетливое изображение предмета.

Угловое увеличение. Глаз находится очень близко к линзе, поэтому за угол зрения можно принять угол 2γ , образованный лучами, идущими от краев предмета через оптический центр линзы. Если бы лупы не было, нам пришлось бы поставить предмет на расстоянии наилучшего зрения (25 см) от глаза и угол зрения был бы равен 2β. Рассматривая прямоугольные треугольники с катетами 25 см и F см и обозначая половину предмета Z , можем написать:

,

где 2γ - угол зрения, при наблюдении через лупу;

2β – угол зрения, при наблюдении невооруженным глазом;

F – расстояние от предмета до лупы;

Z – половина длины рассматриваемого предмета.

Принимая во внимание, что через лупу рассматривают обычно мелкие детали и поэтому углы γ и β малы, можно тангенсы заменить углами. Таким образом, получится следующее выражение для увеличения лупы

N= =.

Следовательно, увеличение лупы пропорционально 1/F , то есть её оптической силе.

2. Микроскоп.

Прибор, позволяющий получить большое увеличение при рассматривании малых предметов, называется микроскопом.

Простейший микроскоп состоит из двух собирающих линз. Очень короткофокусный объектив  L₁ даёт сильно увеличенное действительное изображение предмета P‘Q‘ (рис. 3.30), которое рассматривается окуляром, как лупой.

Обозначим линейное увеличение, даваемое объективом, через N₁, а окуляром через N₂, это значит, что

и ,

где P‘Q‘ – увеличенное действительное изображение предмета;

PQ – размер предмета;

P»Q» – увеличенное мнимое изображение предмета;

N₁ – линейное увеличение объектива;

N₂ – линейное увеличение окуляра.

Перемножив эти выражения, получим

,

Отсюда видно, что увеличение микроскопа равно произведению увеличений, даваемых объективом и окуляром в отдельности. Поэтому возможно построить инструменты, дающие очень большие увеличения – до 1000 и даже больше. В хороших микроскопах объектив и окуляр – сложные.

Окуляр обычно состоит из двух линз, объектив же гораздо сложнее. Желание получить большие увеличения заставляют употреблять короткофокусные линзы с очень большой оптической силой. Рассматриваемый объект ставится очень близко от объектива и дает широкий пучок лучей, заполняющий всю поверхность первой линзы. Таким образом, создаются очень невыгодные условия для получения резкого изображения: толстые линзы и нецентральные лучи. Поэтому для исправления всевозможных недостатков приходится прибегать к комбинациям из многих линз различных сортов стекла.

В современных микроскопах теоретический предел уже почти достигнут. Видеть в микроскоп можно и очень малые объекты, но их изображения представляются в виде маленьких пятнышек, не имеющих никакого сходства с объектом.

При рассматривании таких маленьких частиц пользуются так называемым ультрамикроскопом, который представляет собой обычный микроскоп с конденсором, дающим возможность интенсивно освещать рассматриваемый объект сбоку, перпендикулярно оси микроскопа.

С помощью ультрамикроскопа удаётся обнаружить частицы, размер которых не превышает миллимикронов.

3. Зрительные трубы.

Простейшая зрительная труба состоит из двух собирающих линз. Одна линза, обращенная к рассматриваемому предмету, называется объективом, а другая, обращенная к глазу наблюдателя – окуляром.

Ход лучей в зрительной трубе показан на рис. 3.31.

Рис. 3.31. Ход лучей в зрительной трубе.

Объектив L₁ дает действительное обратное и сильно уменьшенное изображение предмета P₁Q₁, лежащее около главного фокуса объектива. Окуляр помещают так, чтобы изображение предмета находилось в его главном фокусе. В этом положении окуляр играет роль лупы, при помощи которой рассматривается действительное изображение предмета.

Действие трубы, так же как и лупы, сводится к увеличению угла зрения. При помощи трубы обычно рассматривают предметы, находящиеся на расстояниях, во много раз превышающих её длину. Поэтому угол зрения, под которым предмет виден без трубы, можно принять угол  2β, образованный лучами, идущими от краев предмета через оптический центр объектива.

Изображение видно под углом 2γ и лежит почти в самом фокусе F объектива и в фокусе  F₁ окуляра.

Рассматривая два прямоугольных треугольника с общим катетом Z‘ , можем написать:

,

где  2γ – угол, под которым видно изображение предмета;

2β – угол зрения, под которым виден предмет невооруженным глазом;

F – фокус объектива;

F₁ – фокус окуляра;

Z‘ – половина длины рассматриваемого предмета.

Углы β и γ невелики, поэтому можно с достаточным приближением заменить tgβ и tgγ углами и тогда увеличение трубы

N=,

где  2γ – угол под которым видно изображение предмета;

2β – угол зрения, под которым виден предмет невооруженным глазом;

F – фокус объектива;

F₁ – фокус окуляра.

Угловое увеличение трубы определяется отношением фокусного расстояния объектива к фокусному расстоянию окуляра. Чтобы получить большое увеличение, надо брать длиннофокусный объектив и короткофокусный окуляр.

4. Проекционные устройства.

Для показа зрителям на экране увеличенного изображения рисунков, фотоснимков или чертежей применяют проекционный аппарат. Рисунок на стекле или на прозрачной пленке называют диапозитивом, а сам аппарат, предназначенный для показа таких рисунков, – диаскопом. Если аппарат предназначен для показа непрозрачных картин и чертежей, то его называют эпископом. Аппарат, предназначенный для обоих случаев, называется эпидиаскопом.

Линзу, которая создает изображение находящегося перед ней предмета, называют объективом. Обычно объектив представляет собой оптическую систему, у которой устранены важнейшие недостатки, свойственные отдельным линзам. Чтобы изображение предмета было хорошо видно зрителям, сам предмет должен быть ярко освещен.

Рис. 3.33. Схема проекционного устройства.

Схема устройства проекционного аппарата показана на рис.3.33.

Источник света S помещается в центре вогнутого зеркала (рефлектора) Р. свет идущий непосредственно от источника  S и отраженный от рефлектора Р, попадает на конденсор К, который состоит из двух плосковыпуклых линз. Конденсор собирает эти световые лучи на объективе О, который уже направляет их на экран Э, где получается изображение диапозитива Д. Сам диапозитив помещается между главным фокусом объектива и точкой, находящейся на расстоянии 2F от объектива. Резкость изображения на экране достигается перемещением объектива, которое часто называется наводкой на фокус.

5. Спектральные аппараты.

Для наблюдения спектров пользуются спектроскопом.

Наиболее распространенный призматический спектроскоп состоит из двух труб, между которыми помещают трехгранную призму  (рис. 3.34).

В трубе А, называемой коллиматором, имеется узкая щель, ширину которой можно регулировать поворотом винта. Перед щелью помещается источник света, спектр которого необходимо исследовать. Щель располагается в фокальной плоскости коллиматора, и поэтому световые лучи из коллиматора выходят в виде параллельного пучка. Пройдя через призму, световые лучи направляются в трубу В, через которую наблюдают спектр. Если спектроскоп предназначен для измерений, то на изображение спектра с помощью специального устройства накладывается изображение шкалы с делениями, что позволяет точно установить положение цветовых линий в спектре.

При исследовании спектра часто бывает целесообразней сфотографировать его, а затем изучать с помощью микроскопа. Прибор для фотографирования спектров называется спектрографом.

Схема спектрографа показана на рис. 3.35.

Спектр излучения с помощью линзы Л₂ фокусируется на матовое стекло АВ, которое при фотографировании заменяют фотопластинкой.

6. Оптический измерительный прибор.

Оптический измерительный прибор – средство измерения, в котором визирование (совмещение границ контролируемого предмета с визирной линией, перекрестием и т.п.) или определение размера осуществляется с помощью устройства с оптическим принципом действия. Различают три группы оптических измерительных приборов: приборы с оптическим принципом визирования и механическим способом отчета перемещения; приборы с оптическим способом визирования и отчета перемещения; приборы,  имеющие механический контакт с измерительным прибором,  с оптическим способом определения перемещения точек контакта.

Из приборов первой группы распространение получили проекторы для измерения и контроля деталей, имеющих сложный контур, небольшие размеры.

Наиболее распространенный прибор второй группы – универсальный измерительный микроскоп, в котором измеряемая деталь перемещается на продольной каретке, а головной микроскоп – на поперечной.

Приборы третьей группы применяют для сравнения измеряемых линейных величин с мерками или шкалами. Их объединяют обычно под общим названием компараторы. К этой группе приборов относятся оптиметр, оптикатор, измерительная машина, контактный интерферометр, оптический дальномер и др.

Оптические измерительные приборы также широко распространены в геодезии  (нивелир, теодолит и др.).

Теодолит – геодезический инструмент для определения направлений и измерения горизонтальных и вертикальных углов при геодезических работах, топографической  и маркшейдерских съемках, в строительстве и т.п.

Нивелир – геодезический инструмент для измерения превышений точек земной поверхности – нивелирования, а также для задания горизонтальных направлений при монтажных и т.п. работах.

В навигации широко распространён секстант – угломерный зеркально-отражательный инструмент для измерения высот небесных светил над горизонтом или углов между видимыми предметами с целью определения координат места наблюдателя. Важнейшая особенность секстанта – возможность совмещения в поле зрения наблюдателя одновременно двух предметов, между которыми измеряется угол, что позволяет пользоваться секстантом на самолёте и на корабле без заметного снижения точности даже во время качки.

Перспективным направлением в разработке новых типов оптических измерительных приборов является оснащение их электронными отсчитывающими устройствами, позволяющими упростить отсчет показаний и визирования, и т.п.

а). Сферическая аберрация. Предположим, что на оси оптической системы расположена светящаяся точка L, посылаю­щая широкий пучок лучей на оптическую систему (линзу). Для того чтобы яснее проследить за действием различных зон линзы, прикроем ее картонным диском, снабженным небольшими отвер­стиями, расположенными по диаметру диска, как показано на рис. 3.15.

Параксиальный пучок 1 через центральное отверстие дает изо­бражение точки в L‘; пучки, проходящие через более удаленные зоны (пучки 2, 3 и т. д.), дадут изображения в точках L«, L‘», … Явление можно хорошо наблюдать в запыленном воздухе. Если картон с отверстиями устранить, то пучки, проходящие через про­межуточные зоны, дадут изображения в промежуточных точках, так что точка L изобразится на оси линией L‘…L«», а на любом экране, перпендикулярном к оси, получится изображение в виде диска с неоднородным распределением освещенности. Таким обра­зом, при значительной ширине пучка стигматичность изображения не имеет места даже для точки на оси. Этот вид ошибки носит на­звание сферической аберрации, хотя он характерен не только для сфе­рических поверхностей.

За меру сферической аберрации принимают расстояние между L‘ и L» для соответствующих зон (продольная аберрация). Удоб­ное графическое изображение сферической аберрации дано на рис. 3.15, где положительные δs откладываются вправо от линии АА.

Величина сферической аберрации зависит от кривизны поверх­ностей линзы и показателя преломления, а также от того, какой из поверхностей несимметричная линза обращена к источнику.

Рис. 3.15. Сферическая аберрация и ее графическое изображение.

Так, двояковыпуклая линза из крона (п=1,5) с отношением радиу­сов кривизны 1:6, обращенная более выпуклой стороной к парал­лельным лучам, имеет минимальные аберрации. Почти так же хороша плоско-выпуклая линза. Вследствие сферической аберрации светящаяся точка дает на экране изображение в виде небольшого кружка (кружок, рассеяния), освещенного, вообще говоря, нерав­номерно. При перемещении экрана вдоль оптической оси размеры кружка рассеяния и распределение освещенности в нем меняются. Если экран совпадает с плоскостью АА (см. рис. 3.15), т.е. про­ходит через фокус L‘ параксиальных лучей, то кружок рассеяния имеет вид светлой точки со сравнительно большим и слабым орео­лом; при перемещении экрана от L‘ к L» размеры ореола уменьша­ются, но освещенность его растет, а диаметр светлой точки увели­чивается; при некотором положении экрана кружок рассеяния имеет наименьшие размеры (примерно в четыре раза меньше, чем в плоскости L‘) при почти равномерной освещенности; при дальней­шем перемещении экрана наблюдается быстрое расплывание освещенной части.

Отличительной особенностью сферической аберрации является то, что она сохраняется даже при положении светящейся точки на оси системы, когда все остальные аберрации (в монохроматическом свете) исчезают.

Рис.  3.16. Сферическая аберрация исправленной системы.

Положительные (собирательные) линзы создают аберрацию, изображенную на рис. 3.15, т.е. s < 0 для всех зон; отрицательные (рассеивающие) линзы имеют аберрацию противоположного знака. Поэтому, комбинируя такие простые линзы, можно значительно исправить сферическую абер­рацию. Соответствующий при­мер изображен на рис. 3.16. Строго говоря, сферическая аберрация может быть впол­не исправлена только для какой-нибудь пары узких зон, и притом лишь для оп­ределенных двух сопряжен­ных точек. Однако практиче­ски исправление может быть весьма удовлетво-рительным даже для двух линзовых систем, упо­мянутых выше. Подобные двухлинзовые системы могут быть очень хорошо исправлены в отношении сферической аберрации. Так, не­большой астрономический объектив с диаметром 80 мм и фокусным расстоянием 720 мм дал максимальное значение s = – 0,011 мм.

Для исправления сферической аберрации зеркал (например, прожекторов) им обычно придают не сферическую форму, а вид параболоида вращения, располагая источник в фокусе; в таких зеркалах при тщательном их выполнении сферическую аберрацию можно сделать очень малой. Хорошо исправленными могут быть отражатели, обе поверхности которых сферические, но раз­ной кривизны; задняя, посеребренная, имеет меньшую кривизну. Отраженный свет испытывает дополнительное преломление в стекле отражателя, который играет роль рассеивающей линзы (тоньше в середине), рассчитанной так, чтобы исправить аберрацию задней поверхности. Такие зеркала употребляются в настоящее время только в небольших сигнальных аппаратах (диаметром не свыше 100 мм).

Рис. 3.17. Кома.

б). Кома. Если светящаяся точка, посылающая широкий пу­чок, находится не на оси системы, то каустика принимает более сложный вид. Покроем линзу экраном, в котором прорезана узкая щель в виде кольца большого диаметра с центром на оси. Светя­щаяся точка L помещена вне оси. Широкий пучок, проходя через систему, дает на экране изображение L в виде довольно сложной асимметричной фигуры (рис. 3.17).

Устранив экран и заставив работать всю линзу, мы в качестве изображения точки получим неравномерно освещенное пятнышко, несколько напоминающее комету с хвостом.

Нередко кома имеет и более сложный вид. Соответствующим под­бором совокупности частей системы кома может быть значительно ослаблена.

2). Аберрации, обусловленные тонкими внеосевыми наклонными пучками лучей.

а). Астигматизм наклонных пучков. Если пу­чок лучей, исходящий из точки, падает на систему, составляя угол с осью, то он теряет гомоцентричность. Для того чтобы яснее пред­ставить себе характер искажения, наблюдающегося в этом случае, введем некоторые дополнительные обозначения. Плоскости, про­ходящие через ось системы, носят название меридиональных плос­костей. Предположим, что центральный луч элементарного пучка (ось пучка) находится в меридиональной плоскости. Тогда из такого пучка можно мысленно выделить плоскую ленточку лучей, лежа­щих в меридиональной плоскости и называемых меридиональными, или плоскую ленточку лучей, расположенных в перпендикулярной плоскости и называемых сагиттальными (рис. 3.18).

Пучки при достаточном наклоне к оси не дают стигматического изображения точки L. Изображением точки L служат две фокальные линии. Одна из них (L_SL_S, см. рис. 3.18) образуется в результате преломления сагиттальных лучей и ориентирована в меридиональной плоскости; другая (L_mL_m), получающаяся при преломлении меридиональных лучей, ориентирована в перпенди­кулярной плоскости. Фокальные плоскости (I и III), в которых лежат эти два прямолинейных изображения, расположены на разных расстояниях от главной плоскости системы. Таким образом, и в этом случае точка L изображается кружком рассеяния, форма которого зависит от положения экрана. В плоскости I фигура рассеяния имеет вид отрезка прямой, лежащей перпендикулярно к меридиональной плоскости; в плоскости III фигура рассеяния вырождается в прямую, расположенную в меридиональной плоскости; в плоскости  II, лежащей посредине между I и III, фигура рассеяния имеет вид круга; в промежуточных плоскостях – вид эллипсов различного эксцентриситета.

Рис. 3.18. Астигматизм наклонных пучков.

Если источ-ником служит не точка, а отрезок линии, то изо­бражение ее может быть вполне удов-летворительным в одной из плос-костей I или III в зависимости от ориентировки изо-бражаемого отрез-ка. Изображения отрезков, расположенных в меридиональ­ных плоскостях, будут резкими в плоскости III, где изображения каждой точки ориентированы в меридиональной плоскости, и сле­довательно, сольются в удовлетворительное изображение всей линии; отрезки в виде дуг (колец), лежащие в плоскости, перпендикуляр­ной к оси (и следовательно, пересекающие все меридиональные плоскости под прямым углом), дадут по той же причине удовлетво­рительное изображение в плоскости I. Сетка, удобная для демон­страции описанных явлений, изображена в левом углу рис. 3.18. Расположив сетку так, чтобы точка О лежала на оси, мы получим в плоскости I более или менее удовлетворительное изображение концентрических окружностей, а в плоскости III – радиальных линий. Радиальные и круговые линии центральной части сетки изображаются одинаково резко в одной плоскости.

б). Искривление плоскости изображения. Изображение сетки, показанное на рис. 3.18, позволяет наблюдать одновременно с потерей стигматичности еще одну особенность, связанную с наклонными пучками. При определенном положении экрана резкость изображения разных колец (или резкость радиусов вдоль своей длины) может быть различна. Перемещая экран, мы можем улучшить изображение одних участков, ухудшая изображение других. Этот опыт показывает, что изображение представляет собой не плоскость, перпендикулярную к оптической оси, а изогну­тую поверхность, причем степень изгиба для меридиональных пучков и для пучков сагиттальных различна. Рис. 3.19 показывает характер этого искривления: QO – ось системы, МН₁ – оси наклон­ных пучков, OS – плоскость неискривленного изображения, соот­ветствующая параксиальному пучку, OS_m и OS_S - искривленные поверхности изображения, обусловленные меридиональными и са­гиттальными наклонными пучками соответственно. OS_m и OS_S,
конечно, касаются линии OS в точке О, т.е. в параксиальной об­ласти.

Рис.  3.19. Искривление плоскости изображение.

Астигматизм системы исправляется путем специального под­бора конструктивных элементов системы, т. е. радиусов поверхно­стей, показателей преломления и расстояний между поверхностями.

Одновременно с унич-тожением астигматизма обычно стремятся устранить и искривление плоскости изображения, что особенно важно для фотографии, где требуется получение резкого изображе­ния на плоской светочувствительной поверхности. Хорошие фото­графические объективы этого типа – анастигматы – имеют зна­чительное поле зрения (свыше 50°) и дают плоское изображение.

в). Дисторсия изображений. Когда лучи, посыла­емые предметом в систему, составляют большие углы с ее оптической осью, то изображение, даваемое даже узкими пучками лучей, может обнаруживать еще один вид искажения. Оно обусловлено тем, что увеличение V такой системы при больших углах зависит от угла между осями пучка и системы и, следовательно, меняется от центра изображения к периферии. Этот вид аберрации носит название дисторсии и ведет к тому, что изображения оказываются не подобными предмету. Типичные виды дисторсии (подушкообраз­ная и бочкообразная) приведены на рис. 3.20.

Рис. 3.20. Дисторсия изображения.
а – неискаженное изображение, б – подушкообразная дисторсия, в –  бочкообразная  дисторсия.

Дисторсия обычно не очень вредит наблюдению, но становится очень опасной, если при помощи оптической системы производятся съемки, предназначенные для проме-ров (например, в геодезии или, особенно, в аэрофото-грамметрии). Поэтому объек-тивы для таких работ очень тщательно исправляются на дисторсию. Так, например, хороший объектив, рассчитанный М. М. Русиновым, предназначенный для картографических аэросъемок, при поле зрения в 120° дает ошибку в определении направления на объект, не превышающую 10«.

3). Аберрации, обусловленные зависимостью показателя преломления от длины волны (хроматические аберрации).

а). Зависимость показателя преломления от  цвета. При всех предшествующих построениях лучевой оптики мы считали показатель преломления величиной постоянной, тогда как в действительно­сти он зависит от цвета, т.е. от длины волны света.

Первые эксперименталь­ные исследования этой зави­симости принадлежат Ньюто­ну, который произвел (1672г.) знаменитый опыт с разложе­нием белого света на цвета (спектр) при преломлении в призме. Наблюдение преломления в призме и доныне остается одним из удобных способов определения показателя преломления вещества призмы и изучения зависимости показателя преломления от цвета (дисперсия).

Рис. 3.21. Преломление в линзе.

1. Преломление в призме. Пусть преломляющий угол призмы равен (рис. 3.21); угол отклонения луча угол КВС = D. Из треу­гольника MBN имеем ;

из треугольника MNP находим

.

Поэтому

.

При симметричном ходе лучей () угол D принимает минималь­ное значение. В этом случае

(1)

Последнее соотношение обычно применяется для определения п по измеренным с помощью гониометра углам и D_min .

Мы рассматривали ход лучей, плоскость падения которых пер­пендикулярна к ребрам призмы; эта плоскость носит название главного сечения призмы. Если лучи падают под углом к главному сечению, то они преломляются тем сильнее, чем   больший   угол составляет плоскость падения с главным сечением.

2. Зависимость п от l (дисперсия). В прозрачных средах пока­затель преломления п растет с уменьшением длины волны . Для прозрачных тел зависимость (в видимой части спектра) имеет вид

(2)

Для  многих тел можно ограничиться  соотношением

(3)

(формула Коши); а, b, с, … – постоянные, характеризующие ве­щество. Для окрашенных тел формула Коши теряет силу, нару­шается даже ход зависимости п от .

Мерой дисперсии служит разность показателей преломления () для различных значений  и . Преломление характе­ризуют обычно значением показателя преломления для l=589,3 нм (среднее из длин волн двух близких желтых линий натрия), обозна­чая его символом n_D. Мерой дисперсии служит средняя дисперсия, определяемая как разность   , где  относится к =486,1 нм (синяя линия водорода,  C),  а п_C - к =656,3 нм (красная линия водорода, С).

Нередко   преломляющее   вещество   характеризуют   величиной относительной дисперсии, под которой понимают отношение

,

где n_D относится к =589,3 нм. В практических каталогах обычно фигурирует   величина,   обратная   относительной   дисперсии,   т. е.

– так называемый коэффициент дисперсии или число Аббе. Ве­щества с малой дисперсией характеризуются большим значением v (например, для флюорита =95); вещества с большой дисперсией имеют малое (для тяжелых сортов стекла =20). Обычно (но не всегда) дисперсия растет вместе со средним значением показателя преломления.

Для стекол возрастание дисперсии идет обычно параллельно с увеличением удельного веса стекла. Тяжелые сорта стекол (флин­ты) характеризуются большой дисперсией, легкие (кроны) – малой. В настоящее время имеется очень много разных сортов стекол.

б). Хроматическая аберрация  и  ахроматизация линз. Фокусное расстояние линзы определяется соот­ношением

,         (4)

где N - относительный показатель преломления.

Таким образом, f для данной линзы (т. е. для определенных R₁ и R₂) тем меньше, чем больше N; отсюда возникает хроматичес­кая аберрация положения, или продольная хроматическая абер­рация, т. е. искажение, в силу которого даже для параксиальных лучей немонохроматический пучок имеет целую совокупность фо­кусов вдоль отрезка оси O₁O₂ (рис. 3.22). В со­ответствии с этим точка на оси изображается цветными кружками, относительные размеры которых зависят от местоположения экрана. Чем меньше дисперсия стекла, тем меньше продольная хроматическая аберрация O₁O_2.

Рис. 3.22. Хроматическая аберрация простой линзы.

Ньютон на основании своих опытов ошибочно полагал, что ве­личина относительной дисперсии, входящая в расчет ахромати-зированной системы, не зависит от материала линз, и пришел  отсюда к выводу о невозможности построения ахроматических линз. В соответствии с этим Ньютон считал, что для астрономической прак­тики большое значение должны иметь рефлекторы, т.е. телескопы с отражательной оптикой. Однако Эйлер, основываясь на отсут­ствии заметной хроматической аберрации для глаза, высказал мысль о существовании необходимого разнообразия преломляющих сред и рассчитал, каким образом можно было бы коррегировать хроматическую аберрацию линзы. Доллон построил (1757 г.) пер­вую ахроматическую трубу. В настоящее время имеются десятки сортов стекол с разными показателями преломления и разной дисперсией, что дает очень широкий простор расчету ахромати­ческих систем. Труднее обстоит дело с ахроматизацией систем, предназначенных для ультрафиолетового света, ибо разнообразие веществ, прозрачных для ультрафиолета, ограничено. Удается все же строить ахроматические линзы, комбинируя кварц и флюорит или кварц и каменную соль.

Обычное устройство простой ахроматической линзы показано на рис. 3.23. К двояковыпуклой линзе из крона присоединяется (приклеивается) соответствующим образом рассчитанная рассеи­вающая линза из флинта. Добавочная линза удлиняет фокусные расстояния первой линзы. При этом больше увеличивается фокусное расстояние лучей, сильнее преломляемых (короткой длины волны), так что фокус О_ф отодвигается больше, чем фокус О_кр. Выбирая соответствующим образом параметры, мы заставляем совпадать фокусы двух (или даже трех) длин волн. Однако при современных сортах стекол не удается добиться совпа­дения фокусов для всех видимых лучей, в результате чего возни­кает остаточный хроматизм, называемый вторичным спектром. Для тонких линз совпадение положения фокуса для разных длин волн означает также уравнивание фокусных рас-стояний, т.е. полную ахрома-тизацию. Для толстых же линз (систем) совпадение фокусов еще не означает совпадения фокусных расстояний, ибо последние отсчитываются от главных плоскостей, положения кото­рых для разных длин волн могут быть различными. А различия в величине фокусных расстояний означают различие в увеличении для разных длин волн, вследствие чего предметы конечных раз­меров дают изображения с цветной каймой. Эта вторая хромати­ческая ошибка носит название хроматической разности увеличений, и для ее устранения необходим специальный расчет. Системы, у которых исправлены обе хроматические погрешности для всех рас­стояний объекта, носят название стабильно ахроматизированных.

Ахроматизация для визуальных наблюдений (труба) выполня­ется так, что совпадают фокусы красного и синего лучей ( = 656,3 нм, и = 486,1 нм); ахроматизация систем, предназначен­ных для фотографирования (фотографические объективы), вы­полняется с расчетом соединения фокусов для длин волн = 434,1 и = 589,3 нм, сильно действующих на сенсибилизи­рованную фотографическую пластинку. Аббе (1886 г.) ввел для микроскопии апохроматы, т.е. объек­тивы, где соединены фокусы для трех сортов лучей и вместе с тем устранена сферическая аберрация для разных цветов (уничтожена хроматическая разность сферической аберрации, называемая обычно сферохроматической аберрацией). Апохроматы Аббе имеют большие преимущества перед ахроматами, где коррегированы два сорта лучей. Остающаяся в апохроматах хроматическая разность увели­чений устраняется в микроскопе путем применения специальных окуляров (компенсационные окуляры).

Из изложенного ясно, что устранение многочисленных абер­раций возможно лишь путем устройства специально рассчитанных сложных оптических систем. Однако одновременное исправление всех недостатков может оказаться крайне сложной и даже нераз­решимой задачей. Поэтому нередко идут на Компромисс, рассчи­тывая оптику, предназначенную для определенной цели. При этом устраняют те недостатки, которые особенно опасны для поставлен­ной задачи, и мирятся с неполным устранением других.

Так, для объективов астрономических труб, где источником служат точки, расположенные вблизи оси, важно соблюдение усло­вий синусов и устранение сферической и хроматически аберраций для точек в центре поля; для микрообъективов и фотообъективов, предназначенных для фотографирования широкого поля зрения, необходимо, кроме соблюдения условия синусов, устранение абер­раций, искажающих поле (дисторсия, искривление поля и т.д.), а также хроматической аберрации. Объективы, предназначенные для наблюдения объектов малой яркости, должны иметь возможно большее относительное отверстие, и это вынуждает мириться с не­которыми аберрациями, неизбежными при работе с очень широ­кими пучками. Исправление хроматизма в приборах, предназначен­ных для визуальных наблюдений и для фотографии, рассчитано на разные спектральные области применительно к тому обстоятель­ству, что максимум чувствительности глаза лежит в желто-зеленой части спектра, а чувствительность фотопластинок обычно сдвинута в более коротковолновую область. Объектив коллиматора спек­трального аппарата должен быть очень хорошо исправлен на хро­матическую аберрацию, тогда как объектив камеры может быть совсем не ахроматизован, но в нем весьма вредны астигматизм наклонных пучков и кома; впрочем обычно оптика спектрографа рассчитывается как целое, так что недостаток одной ее части в большей или меньшей степени компенсируется за счет другой части.

Идеальная оптическая система может быть осуществлена с достаточным приближением в виде центрированной оптической системы, если ограничиться областью вблизи оси симметрии, т.е. параксиальными пучками. В теории Гаусса требование «тонкости» системы отпадает, но лучи по-прежнему предполагаются параксиальными. Разыскание оптической системы, которая приближалась бы к идеальной даже при пучках значительного раскрытия, есть такая задача прикладной геометрической оптики.

Случай преломления на одной сферической поверхности сравни­тельно редок. Большинство реальных преломляющих систем со­держит по крайней мере две преломляющие поверхности (линза) или большее их число.

Рис. 3.13. Центрированная оптическая система.

Система сферических поверхностей называется центрированной, если центры всех поверхностей лежат на одной прямой (рис. 3.13.).

Линия, соединяющая центры сферических поверхностей, представляет собой ось симметрии центрированной системы и называется главной оптической осью системы. Теория Гаусса устанавливает ряд так называемых кардинальных точек и плоскостей, задание которых полностью описывает все свойства оптической системы и позволяет пользоваться ею, не рассматривая реального хода лучей в системе.

Рис. 3.14. Главные оптические плоскости H₁R₁ и  H₂R₂ и фокусы F₁ и  F₂ оптической системы.

Пусть ММ и NN – крайние сферические поверхности, ограничивающие систему, и ОО₁ – ее главная ось (рис. 3.14.). Проведем луч А₁В₁, параллельный О₁О₂; точка В₁ есть место входа этого луча в систему. Согласно свойству идеальной системы лучу А₁В₁ соответствует в пространстве изображений сопряженный луч G₂F₂, выходящий из системы в точке G₂ . Как идет луч внутри системы нас не интересует. Второй луч  P₁Q₁ выберем вдоль главной оси. Сопряженный ему луч Q₂P₂ будет также идти вдоль главной оси. Точка F₂ как пересечение двух лучей G₂F₂ и Q₂P₂ есть изображение точки, в которой пересекаются лучи А₁В₁ и P₁Q₁, сопряженные с G₂F₂ и Q₂P₂ . Но так как А₁В₁││P₁Q₁, то точка, сопряженная с F₂, лежит в бесконечности. Таким образом, F₂ есть фокус (второй, или задний) системы. Плоскость, проходящая через фокус перпендикулярно к оси, носит название фокальной.

Любая точка линии H₁R₁ сопряжена с точкой линии H₂R₂, лежащей на такой же высоте от О₁О₂ , как и выбранная. То же относится и к плоскостям, проведенным через H₁R₁ и H₂R₂ перпендикулярно к главной оси, т.к. вся система симметрична относительно оси.

Итак, плоскость H₁R₁, изображается на H₂R₂ прямо и в натуральную величину. Такие плоскости называются главными плоскостями. Таким образом, идеальная оптическая система обладает главными плоскостями. Точки H₁ и H₂ пересечения главных плоскостей с осью носят название главных точек системы. Расстояния от главных точек до фокусов называются фокусными расстояниями системы f₁ = H₁R₁ и f₂ = H₂R₂.

Из основного уравнения (1.3)

- =

следует, что

при a₁ = -

a₂ = = f₂ (1)

при а₂=

a₁ = – = f₁ (2)

т.е.  f₁, f₂ зависят только от радиуса кривизны поверхности R и по­казателей преломления  n₁, n₂ обеих сред.

Величины f₁ и f₂ суть постоянные длины, характеризующие преломляющую поверхность. Они называются ее фокусными расстояниями: f₁ – переднее фокусное расстояние (точка F₁ – пе­редний фокус); f₂ – заднее фокусное расстояние (точка  F₂ – задний фокус)  (рис. 3.3).

Таким образом, фокусом сферической поверхности называется точка, в которой сходятся после преломления параллельные лучи (т. е. лучи, идущие из бесконечно удаленной точки). Понятно, что фокусы, также как и изображения, могут быть действительными и мнимыми, т. е. представлять точку пересечения преломленных лучей (бывших до преломления параллельными) или их предполагаемых продолжений. Так, если вогнутая сторона поверхности раздела обращена к среде, имеющей меньший показатель преломления, то оба фокуса будут мнимыми. В этом легко убедиться как из анализа формул (1) и (2), так и из построения.

Параллельные лучи, идущие справа налево вдоль NO (см. рис. 3.3), сойдутся в фокусе ₁, расположенном на линии NO и лежа­щем также на расстоянии  от преломляющей поверхности. Гео­метрическое место точек F_{l 1}… образует сферическую поверхность с радиусом (для случая, показанного на рис. 3.3, f₁ > 0), концентрическую с преломляющей сферой (с центром в точке О).

Рис. 3.3. Фокусы сферической поверхности

Эта поверхность носит название передней фокальной поверхности. Аналогично построим заднюю фокальную поверхность радиуса . Малые участки этих поверхностей (для параксиальной области) могут быть приняты за плоскости (фокальные плоскости). Фокусные расстояния сферической поверхности различны по знаку и не равны между собой по абсолютной величине (см. рис. 3.3), ибо n₁ n₂ Рассматриваемый случай легко осуществить на опыте, взяв широкую стеклянную трубку и заклеив один ее конец часовым стеклом, имеющим сферическую форму. Если налить в труб­ку воду или, еще лучше, бензол, показатель преломления которого практически совпадает с показателем преломления часового стекла, то получим сферическую границу раздела между воздухом (n₁ = 1,00) и бензолом  (п₂ = 1,49).  На этом простом аппарате легко убедиться, в согласии с (1) и (2), что

f₂ / f₁ = – n₂ / n₁ (3)

Важным практическим примером одной преломляющей сферической поверхности является система, эквивалентная глазу и но­сящая название «приведенный глаз». В качестве второго примера рассмотрим сферическое зеркало.  Формулу (3) параграфа 3.4 можно применить и к случаю отражения, если положить n₂= – n₁ . Тогда имеем

1/a₁ + 1/a₂ = 2/R (4)

т. е. известную формулу сферического зеркала. Фокусное расстояние   такого   зеркала   определится   по  формуле   (1).   Найдем   f= R/2, и, следовательно,  формуле зеркала можно придать вид

1/a₁ + 1/a₂ = 1/f (5)

В случае зеркала изображение действительное, если оно лежит
по одну сторону с источником, и мнимое, если расположено за зер­калом.

Случаи вогнутого и выпуклого зеркала отличаются лишь знаком R. Легко видеть, что фокус вогнутого зеркала – действительный, а фокус выпуклого зеркала – мнимый.

Чтобы получить законы плоского зеркала, достаточно положить R = . В этом случае найдем а₁ = а₂, т.е. изображение точки в плоском зеркале мнимое и симметрично расположенное.

Б. Изображение малых предметов при преломлении на сферической поверхности.

Пользуясь свойствами параксиальных гомоцентрических пучков, можно построить изображение небольших площадей при преломле­нии на сферической поверхности. Представим себе сферическую поверхность, около центра которой расположена небольшая диа­фрагма DD, выделяющая узкие пучки, имеющие характер пара­ксиальных по отношению к соответствующим осям.

Рис. 3.4. Изображение малого предмета АСВ при преломлении на сферической поверхности.

Параксиальный  гомоцентрический пучок после преломления остается гомоцентрическим, т.е. дает изображение своей вершины. Соответствующим
образом изобразится любая точка светящейся дуги АСВ (или части
сферы) (рис. 3.4) с центром в О. Для отыскания изображения всех
точек АСВ применим формулу

- = .

Так как для всех точек АСВ все а₁ имеют одно и то же значение, то и все а₂ одинаковы; элемент сферы с радиусом R-а₁ отобразится в виде элемента сферы с радиусом a₂-R с общим центром О. Для графического отыскания точки В’, например, можно провести луч BM, параллельный СO; тогда преломленный луч должен пройти через фокус F₂; луч же ВО проходит без преломления. Пересечение продолжений MF₂ и ВО и определит положение В’.

Ввиду того, что АВ и А’В’ очень малы, вместо дуг (элементов сферы) можно брать хорды (элементы плоскости). Таким образом, в сферической системе малая площадка, перпендикулярная к оси, изобразится при помощи параксиальных лучей в виде площадки, также перпендикулярной к той же оси.

Плоскость предмета АВ и плоскость его изображения А’В’ называются плоскостями, сопряженными по отношению к данной оптической системе.

В. Увеличение. Теорема Лагранжа-Гельмгольца.

Выберем в качестве светящегося предмета линию А₁В₁, пер­пендикулярную к оси, и построим ее изображение A₂В₂ (рис. 3.5). Отношение линейных размеров изображения (y₂ = A₂В₂) и предмета (y₁ = A₁B₁) носит название линейного или поперечного увеличения

Рис. 3.5. К выводу уравнения Лагранжа-Гельмгольца для параксиальных лучей.

V = y₂ / y₁ = A₂B₂ / A₁B₁. Приписывая A₁B₁ и A₂B₂ знаки (как обычно в геометрии), получим, что увеличение положительно, если изобра­жение прямое, и отрицательно, если изображение перевернутое. Из треугольников A₁B₁S и A₂B₂S имеем

y₁/a₁ = tg i,     y₂/a₂ = tg r.

При малых размерах A₁B₁ и A₂B₂

= =

т. е.

= или = V = .             (6)

Для преломляющей системы n₁ и n₂ всегда положительны, так что знак V определится знаком отношения a₂/a₁. Для расположений, соответствующих действительному изображению (см. рис. 3.5),  a₁ и a₂ имеют разные знаки, т.е. V отрицательно, и изображение перевернутое; для мнимых изображений – наоборот.

Для зеркал п₁/п₂ = -1, т.е. V = -а₂/а₁. В случае действитель­ного изображения а₁ и a₂ имеют одинаковые знаки, т. е. V < 0 и изображение перевернутое; в случае мнимого изображения знаки а₁ и a₂ различны, V > 0, изображение прямое. Для плоского зер­кала (а₁= -a₂) V = 1, т. е. изображение прямое и натуральной величины.

Сопряженные, плоскости называются главными, если для них V = 1, т. е. изображение получается прямым и в натуральную ве­личину объекта. Нетрудно видеть, что для сферической поверхности главные плоскости совпадают между собой и представлены плоско­стью, касательной к сфере в точке S , т.е. а₁ = а₂ = 0.  В соответствии с этим и фокусные расстояния сфери­ческой поверхности следует считать расстояниями от главных плоскостей до фокусов. На рис. 3.5 изображены также углы и₁ и u₂, определяющие максимальное раскрытие (апертуру) пучков, падающих на поверхность (угол 2u₁), и сопряженных им изобра­жающих пучков (угол 2u₂). Предельное значение этих углов опре­деляется требованием соблюдения условий параксиальности.

Так как при всех значениях углов и, лежащих в пределах апер­туры параксиальных лучей, отношение а₂/а₁ остается постоянным, то соотношение (7) показывает, что увеличение небольшого предмета A₁B₁ сохраняется неизменным, какой бы частью пара­ксиального пучка ни было образовано изображение. Другими сло­вами, не только изображение точки на оси, но и изобра­жение небольшого предмета, расположенного около оси, передается параксиальным пучком без искажения.

Для параксиальных лучей А₁РА₁S = a₁ и РА₂SA₂ = а₂, так что

u₁ = tg u₁ = , u₂ = tg u₂ = , = .

На основании (6) имеем

= = V = ,

или

y₁n₁u₁ = y₂n₂u₂ (7)

Соотношение (7) носит название теоремы Лагранжа-Гельмголъца.

Это соотношение справедливо для области параксиальных лучей. При употреблении пучков со значительной апертурой получение четких изображений возможно лишь при выполнении  условия

y₁n₁ sin u₁ = y₂n₂ sin u₂ (8)

Условие Лагранжа – Гельмгольца или условие синусов налагает ограничение на свободу преобразо­вания световых пучков при помощи оптических систем, связывая апертуру и размер предмета с апертурой и размером изображения. Из него вытекает, что преобразование данного оптического пучка при помощи оптической системы в другой пучок любого наперед заданного строения невозможно. Строение преобразованного пучка может быть только таким, какое допускает условие Лагранжа-Гельмгольца. Это важное принципиальное ограничение приобретает особое значение в вопросах фотометрии и концентрирования лучи­стой энергии при помощи оптических систем.

Г. Преломление в линзе. Общая формула линзы.

Большое значение имеет простейший случай центрированной системы, состоящей всего из двух сферических поверхностей, огра­ничивающих какой-либо прозрачный хорошо преломляющий мате­риал (обычно стекло) от окружающего воздуха. Такая система представляет, очевидно, обычную линзу.

Линза называется тонкой, если обе ее вершины можно считать совпадающими, т.е. если толщина линзы d мала по сравнению с R₁ и R₂, радиусами кривизны ограничивающих поверхностей. На рис. 3.6 для ясности линза изображена толстой. В дальнейших расчетах будем полагать, что точки S₁ и S₂ сливаются, и обозначим их буквой S. Все расстояния будем отсчитывать от этой точки S, которая практически совпадает с S₁ и S₂. Точка S носит название оптического центра линзы. Любой параксиальный луч, проходящий через S, практически не испытывает преломле­ния. Действительно, для таких лучей участки обеих поверхностей линзы можно считать параллельными, так что луч, проходя через них, не меняет направления, но лишь смещается параллельно са­мому себе (преломление в плоскопараллельной пластинке), а так как толщиной линзы мы пренебрегаем, то смещение это ничтожно и луч практически проходит без преломления. Луч, проходящий через оптический центр, мы назовем осью линзы. Та из осей, которая проходит через центры обеих поверхностей, называется главной, остальные – побочными.

Рис.  3.6. Преломление в тонкой линзе.

Преломление на первой сферической поверхности создало бы без второй сферической поверхности в сплошном стекле с показа­телем преломления п изображение С на, расстоянии SC = а (см. рис. 3.6) от вершины, так что

= =  ,

где a₁ = SA₁ , R₁ - радиус кривизны первой поверхности линзы. Для второй поверхности С является как бы мнимым источни­ком света.  Построение изображения этого источника после пре­ломления на второй поверхности линзы даст точку В на расстоянии a₂ = SB от линзы. Здесь опять применима формула

= =  ,

где R₂ - радиус второй поверхности.

Так как n₁ = n₂ (воздух с двух сторон линзы), то имеем:

= =  , = =  ,

Складывая второе уравнение с первым, получим:

() = (n – n₁) () ,

или,   вводя   относительный   показатель   преломления   N = n/n_{1 ,}

= (N – 1) ().               (9)

Эта общая формула линзы годна для линз выпуклых и вогнутых при любом расположении источника и соответствующем располо­жении фокуса. Нужно только принять во внимание знаки а₁, a₂, R₁, R₂ считая их положительными, если они отложены вправо от линзы, и отрицательными, если они отложены влево от линзы (как было сделано при выводе формулы (2) в параграфе 3.4). Если знаки а₁ и a₂ одинаковы, то одна из сопряженных точек – мнимая, т. е. в ней пересекаются не сами лучи, а их воображаемые продолжения.

Д. Фокусные расстояния тонкой линзы.

Если светящаяся точка, лежащая на главной оси, удаляется от линзы (а₁ возрастает по абсолютной величине), то изображение перемещается. Положение изображения, соответствующее пре­дельному случаю, когда источник удален в бесконечность, носит название фокуса линзы.

Рис.  3.7. Положение фокусов, расположенных на главной и побочной оптических осях. AF - фокальная плоскость линзы.

Таким образом, фокус есть точ­ка, сопряженная бесконечно удаленной точке главной оси, или, что то же, – место схож­дения лучей, параллельных главной оптической оси. Рас­стояние от линзы до фокуса есть фокусное расстояние тон­кой линзы. Плоскость, прохо­дящая через фокус перпендику­лярно к главной оси, называется фокальной плоскостью.

Если лучи идут из бесконечности параллельным пучком, но под углом к главной, оси (вдоль побочной оси), то они пересекаются в соответствующей точке А фокальной плоскости (рис. 3.7). Таким образом, фокальная плоскость есть плоскость, сопряженная бесконечно удаленной плоскости.

Для определения фокусных расстояний имеем следующие соот­ношений;

при а₁ = –

f₂ , (10)

при a₂ =

f₁ ,           (11)

т.е.

f₁ = – f₂ .                                            (12)

Итак, фокусные расстояния линзы равны по величине и про­тивоположны по знаку, т.е. фокусы лежат по разные стороны от линзы.

В зависимости от знака и величины R₁ и R₂ , а также от знака    (N-1), величина f₁ может быть положительной либо отрицательной, т.е. фокус может быть мнимым или действительным. То же относится и к f₂ , причем нетрудно видеть, что если первый фокус – мнимый, то и второй будет мнимым, и наоборот.

Рис. 3.9. Графическая зависимость между а₁ и а₂ при данном f для идеальной тонкой линзы.

Если фокусы действительны, т.е. параллельные лучи после преломления в линзе сходятся, то линза называется собиратель­ной или положительной. При мнимых фокусах параллельные лучи после преломления в линзе становятся  расходящимися. Поэтому такие линзы назы­ваются  рассеивающими или отрицательными.

Рис.  3.8.  Различные типы тонких линз.  а – собирательные, б – рассеивающие.

Если материал тонкой линзы преломляет сильнее, чем окру­жающая среда (например, стеклянная линза в воздухе), то соби­рательными будут линзы двояковыпуклые, плоско-выпуклые и вогнуто-выпуклые (положительный мениск), т. е. линзы, утолща­ющиеся к середине (рис. 3.8, а); к рассеивающим линзам принад­лежат двояковогнутые, плоско-вогнутые и выпукло-вогнутые (от­рицательный мениск), т, е. линзы, утончающиеся к середине (см. рис. 3.8, б). Если материал тонкой линзы преломляет меньше, чем окружающая среда (например, воздушная полость в воде), то линзы, вида рис. 3.8, а будут рассеивающими, а вида рис. 3.8, б - собирательными.

Вводя фокусное расстояние линзы, придадим формуле линзы вид

,    f = f₂ = – f₁ .

Зависимость между а₁ и а₂ графически изображена на рис. 3.9. Легко видеть, что изменение величины а₁ приводит к измене­нию a₂ того же знака. Другими словами, изображение сдвигается вдоль оси в том же направлении, что и объект. Исключение состав­ляет лишь точка а₁= f₁ при  прохождении которой изображение переходит из a₂ = + в a₂ = – .

Е. Изображение в тонкой линзе. Увеличение.

Пусть малый объект вблизи оси изображается системой центри­рованных сферических поверхностей. Построение можно выполнить при помощи параксиальных пучков (см. п. Б.). Поскольку доказано, что дли параксиальных лучей изображение точки стигматично (т.е. гомоцентричность пучка сохраняется), то для построения ее изображения достаточно найти точку пересечения каких-либо двух лучей.

Рис.  3.10. Построение изображения в тонкой линзе.

Наиболее простое построе­ние выполняется при помощи лучей, указанных на рис. 3.10. Один из них  – луч CF₂B₂, со­пряженный с лучом B₁C, параллельным главной оптиче­ской оси; этот луч походит через задний фокус F₂; другой – луч DB₂, параллельный глав­ной оптической оси и сопряженный с лучом B₁F₁D , проведенным через передний фокус F₁. Третий луч вдоль побочной оптической оси B₁SB₂ проходит через оптический центр линзы (точку S), – он идет, не преломляясь. Построение этих лучей выполняется без затруднений. Всякий другой луч, идущий из В₁, нужно было бы строить при помощи закона преломления, что гораздо сложнее. Но из свойства гомоцентричности следует, что после выполнения построения любой преломленный луч пройдет через точку В₂. Так как построение изображения точки В₁ сводится к геометри­ческой задаче отыскания точки В₂, то нет надобности, чтобы выбран­ные простейшие пары лучей имели реальный характер. В частности, когда A₁B₁ больше размеров линзы (например, фотографирование), лучи В₁С, B₁D (рис. 3.11) не проходят через линзу, но могут быть использованы для построения изображения. Реальные лучи, уча­ствующие в построении изображения, ограничены оправой линзы MN, но сходятся, конечно, в той же точке В₂, ибо линза предпола­гается, достаточно хорошей, так что проходящие через нее пучки остаются гомоцентрическими.

Определив поперечное увеличение, как и в п. В, при помощи соотношения , найдем из рис. 3.10.

.                    (13)

Аналогично изложенному в п. В найдем, что для действительных изображений V<0,  т. е. изображение обратное, а для мнимых V>0, т.е. изображение прямое.

Главными плоскостями линзы, как и всякой системы, являются те сопряженные плоскости, для которых V=1. Для тонкой линзы эти плоскости сливаются в одну, проходящую через оптический центр перпендикулярно к оптической оси (т.е. а₁=а₂=0). Таким образом,

фокусные расстояния линзы, которые должны отсчитываться от главных плоскостей, в случае тонкой линзы могут отсчитываться от ее поверхности.

Рис.  3.11. Ограничение пучков в тонкой линзе.

Тонкая линза как система двух центри-рованных поверхнос-тей представляет про-стейшую оптическую систему, дающую до-вольно несовершен-ное изображение. В большинстве случаев мы прибегаем к построению более сложных систем, характеризующихся наличием большого числа преломляющих поверхностей и не ограниченных требованием близости этих поверхностей (тонкости линзы). Однако даже простые тонкие линзы имеют очень большое значение на прак­тике, главным образом в качестве очковых стекол. В громадном большинстве случаев очки представляют собой просто тонкие линзы.

Для классификации очковых, стекол обычно применяется поня­тие оптической силы линзы. Оптической силой называется величина, обратная заднему фокусному расстоянию линзы. Если фокусное расстояние измерять в метрах, то оптическую силу принято выра­жать в диоптриях, считая ее положительной или отрицательной, в зависимости от того, собирательная линза или рассеивающая. Так, например, рассеивающая линза с фокусным расстоянием 20 см (f=-1/5 м) имеет оптическую силу в – 5 диоптрий.

Ж. Каустическая поверхность. Характер ее симметрии.

Поверхность, огибающая совокупность лучей преломленного пучка, носит название каустической поверхности (каустики), а ее сечение любой плоскостью, проходящей через луч, – каустиче­ской кривой. Если пучок при прохождении через оптическую си­стему сохранил гомоцентричность, то каустика вырождается в точку, представляющую вершину гомоцентрического пучка. Нару­шение гомоцентричности означает большее или меньшее искажение каустической поверхности по сравнению с этим простейшим вы­рожденным случаем.  Можно  классифицировать различные аберрации по характеру пониже­ния симметрии каустической поверхности. Так, при сфери­ческой аберрации каустика приобретает вид поверхности, обладающей осью симметрии, но не имею­щей центра симметрии. Рис. 3.12. изображает одну из та­ких форм, где жирные линии

Рис.  3.12. Сечение каустической поверхности.
SS – волновой фронт.

представляют каустическую кривую в плоскости рисунка, а сама каустика получается вращением рисунка относи­тельно оси PQ. Аберрация астигматизма соответствует дальнейшему понижению симметрии каус­тической поверхности, которая не имеет больше оси симметрии, а обладает лишь двумя вза­имно перпендикулярными плоскостями симметрии.

Аберрация комы означает, что каустическая поверх­ность обладает лишь одной плоскостью симметрии, проходящей через светящуюся точку и оптическую ось.

Мы предполагаем пучок настолько узким, т. е. угол y настолько малым, что практи­чески можно считать отрезок LS равным LA, L‘S равным L‘A и т.д. Такой узкий пучок будем называть параксиальным. Итак, условие параксиальности пучка есть

LS » LA и  L‘S » L‘A .

Возьмем какой-либо луч из этого пучка, например LA, падающий на Σ под углом i, построим сопряженный ему преломленный луч AL‘ (угол преломления r) и найдем положение точки, в которой преломленный луч пересечет ось системы.

Из треугольника ALO имеем

,

из треугольника OAL‘

.

Отсюда

(1)

В дальнейшем все отрезки вдоль оси будем отсчитывать от точки  S, считая положительными отрезки, откладываемые от S вправо (в направлении распространяющегося света), и отрицательными – отрезки, откладываемые влево. Таким образом,  AL » SL= – а_{1 ,} AL‘» SL‘= а₂,  AO = SO = R (радиус нашей сферы). В таком случае LO = -а₁ + R, OL‘ = а₂ – R. Используя закон преломления при переходе из первой среды во вторую, получим

=;

т.е.

(2)

Последняя формула показывает, что произведение  при преломлении сохраняет свою величину Q. Его называют нулевым инвариантом Аббе. Для многих целей этой формуле удобно придать вид

= (3)

Соотношение (3) позволяет найти длину а₂ = SL‘, если за­дано а₁ = LS, т.е. позволяет отыскать положение точки L‘ по за­данному L. При выводе его мы, кроме закона преломления, поль­зовались еще допущением, что луч LA принадлежит к параксиаль­ному пучку. Следовательно, соотношение справедливо для любого луча параксиального пучка. Из формулы (3) видно, что а₂ при заданных параметрах задачи (п₁, n₂, R) зависит только от а₁. Таким образом, все лучи параксиального гомоцентрического пучка, выходящего из L, пересекают ось в одной и той же точке L‘, которая является, следовательно, стигматическим изображением источника L. Итак, гомоцентрический пучок при преломлении на сферической поверхности остается гомоцентрическим, если он удовлетворяет условию параксиальности. Основное уравнение (3) охватывает все случаи преломления лучей на сферической поверхности. Поль­зуясь установленным выше правилом знаков, мы можем разобрать случай выпуклой (R>0) или вогнутой (R < 0) поверхности.

Точно так же в зависимости от того, будут ли а₁ и a₂ иметь разные знаки или одинаковые, мы будем иметь случаи, когда изображение располагается с противоположной по сравнению с источником сто­роны преломляющей поверхности или лежит по одну сторону с ним. В первом случае (а₂ > 0) точка, именуемая изображением, есть действительно точка пересечения преломленных лучей. Такое изо­бражение называется действительным. Во втором случае (а₂ < 0), очевидно, преломленные лучи, идущие во второй среде, остаются расходящимися и реально не пересекаются. В этом случае название изображения относится к той воображаемой точке, которая пред­ставляет собой место пересечения предполагаемого продолжения преломленных лучей. Такое изображение называется мнимым. Наши рассуждения и формула (3) показывают, что гомоцентри­ческий пучок после преломления направлен так, что его лучи или пересекаются в одной точке (действительное изображение), или мо­гут быть представлены как пересекающиеся в одной точке (мнимое изображение). Именно в этом смысле он и остается гомоцентрическим. Так как для всех наших рассуждений нам важно знать направление световых лучей, то при всех построениях мы одинаково можем пользоваться как действительным, так и мнимым изображением.

Формула (3) показывает также, что если бы источник был в L‘, то изображение расположилось бы в L (взаимность).

(1)

Принцип Ферма определяет лучевую структуру поля не только в плавно неоднородной среде. Луч, соединяющий две точки r₀ и r₁, выделяется из всех кривых, проходящих через эти точки, тем, что эйконал (13) экстремален. Из принципа экстремальности может быть выведен закон зеркального отражения

(2)

и закон преломления

(3)

на резкой границе между двумя плавно-неоднородными средами. Здесь n₁ - показатель преломления среды, из которой на границу падает луч. Он преобразуется в два луча - преломленный и отраженный в среду n₂. Углы φ₁, φ₂, φ₃ - соответственно углы с нормалью падающего, преломленного и отраженного лучей. Все три луча и нормаль к поверхности расположены в плоскости падения. Хотя эти законы получены для случая падения плоской волны на плоскую границу раздела однородных сред, они выполняются и для неплоской границы между плавно неоднородными средами, если поле сохраняет лучевую структуру (9).

Следует заметить, что вообще эйконал в большей степени определяет световое поле, чем амплитуда А₀(r). Это объясняется тем, что перед S(k,r) стоит большой множитель k. Поэтому все изменения u при малом изменении координат определяются главным образом изменением S, а не А₀.

Уравнение (6) решается в наиболее общем виде с помощью метода характеристик. Этот метод сводит уравнение в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Обозначим  введем параметр τ вдоль направления p, связанный с длиной дуги l на луче условием dl/dτ=n. Вектор r определяет точку на луче, а вектор dr/d является касательным к лучу. Уравнение (6) выглядит в новых обозначениях как |p|=n. Можно показать, что оно эквивалентно следующей системе уравнений:

(1)

(2)

Уравнения (1) определяют геометрию лучей

(3)

т.е. координаты r и направления p луча в точке с параметром τ (этот параметр пропорционален времени прохождения волны вдоль луча). Очевидно, что касательный к лучу вектор (1) параллелен  S, т.е. перпендикулярен к волновой поверхности. Таким образом, луч есть нормаль к поверхности равной фазы.

Вектор p, определяющий направление луча, изменяется вдоль луча, согласно (2), в направлении градиента показателя преломления. Иными словами, преломление, или рефракция, криволинейного луча в неоднородной среде происходит в область возрастания n.

В частном случае однородной среды , так что p=const, и лучи являются прямыми линиями.

Для эйконала из (2) получаем

(4)

Здесь  - значение эйконала при ; интегрирование ведется вдоль геометрооптического луча. Заметим, что в геометрической оптике физическое значение имеет лишь разность эйконалов , а не величина S.

Для однородной среды

Выбрав направление оси z вдоль луча, умножив затем эйконал - его часто называют «оптический путь» - на частоту k, получим привычное выражение для фазы плоской волны kn(z-z₀), так как, очевидно, в данном случае nτ =z.

Рис. 3.1.  Система лучевых координат.

Для построения лучей и фронтов удобно пользоваться системой лучевых координат (рис. 3.1).

Такими координатами являются две координаты ξ, η на поверхности любого, принятого за начальный, волнового фронта , характеризующие данный луч и постоянные вдоль луча, и длина дуги l , отсчитываемая вдоль луча, либо вместо r - введенный выше параметр (время).

При этом сосредоточимся на вопросах распространения света в неоднородной среде, показатель преломления которой плавно меняется в пространстве. Световое поле представляется в форме локально плоской волны. В приближении геометрической оптики амплитуда этой волны не зависит от частоты, а частота, которая считается большой величиной, входит только в фазовый множитель.

В однородной (n=const) среде простейшее решение волнового уравнения - плоская волна

. (1)

Фаза ее постоянна на плоскостях z=cоnst, т.е. фазовые фронты плоские. Нормали к фронтам параллельны.

Пусть показатель преломления среды есть функция координат n=n(r), тогда амплитуда А становится функцией координат, а волновые фронты перестают быть плоскими. Нормали к ним не параллельны, но близки к параллельным. Будем считать, что все характерные масштабы изменения и амплитуды поля, и показателя преломления среды велики по сравнению с длиной волны  (=2p/k). Если l - наименьший из этих масштабов, то предполагается, что выполнено неравенство

Это неравенство - не самое сильное условие применимости лучевой или геометрической оптики, законы которой мы ниже сформулируем. Представим поле световой волны в неоднородной среде в виде почти плоской волны

(3)

Здесь А(k,r) - амплитуда волны; kS(r) - фаза; величина S(r) называется эйконалом. Термин «почти плоская волна» оправдан тем, что в области порядка 2p/kn поле имеет вид (1).

Амплитуду А и эйконал S будем искать из требования, чтобы решение, записанное в форме (3), удовлетворяло волновому уравнению, и при этом используем условие, что k велико. Это можно сделать несколькими способами. Простейший из них состоит в том, чтобы искать А в виде лучевого разложения по обратным степеням k:

(4)

Фактически это разложение проводится по возрастающим степеням безразмерного малого параметра μ (2).

Подставляя (3), (4) в волновое уравнение

(5)

и приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях k, получим в нулевом приближении уравнение эйконала

(6)

а в следующих приближениях – систему рекуррентных уравнений для амплитуд

(7)

(8)

которые называются уравнениями переноса.

Приближение, при котором в (4) сохраняется только нулевой член, называется геометрооптческим приближением. Поля в этом приближении, т.е. поля геометрической оптики

(9)

содержат частоту только множителем в фазе. В отличие от (3), в (9) А₀ уже не есть функция частоты.