При освещении, или просвечивании предмета от него распространяется рассеянная или прошедшая волна. Отделившись от предмета, рассеянная •волна сохраняет в дальнейшем независимое существование и несет полную информацию о форме и прочих свойствах предмета, какая может быть получена путем освещения его световыми лучами. Попадая в глаз или объектив фотоаппарата, эта волна образует на сетчатке или на фотопластинке изображение предмета. Если любым путем создать такую же волну, то, очевидно, она сможет вызвать в точности такие же эффекты, что и исходная волна, рассеянная предметом. На этом замечании и основана идея голографии..

Процесс получения изображения в голографии распадается на две стадии. На первой стадии изготовляется голограмма, т. е. фотопластинка, с помощью которой можно восстанавливать световую волну, рассеянную телом. Вторую стадию составляет само восста­новление этой волны и получение оптического изображения.

Пусть какой-то предмет А (рис.5.14.1.) освещается пучком параллельных лучей от лазера. Рассеянные лучи попадают на фотопластинку Г. По степени почернения пластинки после проявления

Рис. 5.14.1

можно судить об амплитуде рассеянной волны во всех местах пластинки, которых эта волна достигла. В этом смысле экспонированная и проявленная пластинка сохраняет информацию об амплитуде волнового поля.

Для восстановления волнового поля такой информации, конечно, недостаточно. Нужна еще дополнительная информация о фазе, которой пластинка не содержит, так как степень почернения зависит только от интенсивности, но не от фазы волны. Габор указал, что необходимую информацию о фазе можно получить и запи­сать на той же фотопластинке Г, если осветить ее вторым пучком от того же лазера и заставить его интерферировать с пучком, рассеянным предметом. Практически этого можно достигнуть, расширив предварительно пучок от лазера, а затем разделив его на два пучка. Один из них (предметный} направляется на предмет А, другой (опорный) отражается от плоского зеркала 5. Оба пучка направляются на фотопластинку Г и там интерферируют между собой. Интерференционная картина фотографируется. Так полученная фотография и называется голограммой.

Поскольку волна, рассеянная предметом, возникает при отражении и дифракции на макроскопических деталях предмета со сложной формой и взаимным расположением, реальная голограмма представляет собой очень сложную и запутанную интерференционную картину с очень мелкими деталями, которые невозможно различить невооруженным глазом. (На ней обычно видны и крупные дифракционные кольца. Но они не имеют никакого отношения к делу так как возникают при дифракции на случайных пылинках, встретившихся на пути распространения света.)

Дифракционная картина на голограмме не имеет ни малейшего сходства с предметом. При рассматривании ее в микроскоп в не! трудно усмотреть следы каких-либо закономерностей. И тем не ( менее расположение, форма и интенсивность дифракционных пяте) голограммы полностью определяются геометрической формой  физическими свойствами отражающей поверхности объекта. Голо грамма в закодированной форме содержит полную информацию об объекте.

Лазерный пучок  делится на две  части, причем одна его часть отражается зеркалом на фотопластинку (опорная волна). А вторая попадает на фотопластинку отразившись от предмета (предметная волна).  Опорная и предметная  волны , являясь когерентными и накладываясь друг на друга , образуют на фотопластинке интерференционную картину.

Метод голографии позволяет записывать сотни раз больше страниц печатного текста, чем метод микрофотографии. Метод находит все большее применение.

где D- диаметр отверстия напомним, что для щели это расстояние равно .Если , формулу можно упростить следующим образом.

:

При очень малом угловом расстоянии между двумя точками их изображения, получающиеся с помощью какого-либо оптического прибора, належатся друг на друга и дадут одно светящееся пятно. Следовательно, две очень близкие точки не будут восприниматься прибором раздельно или, как говорят, не будут разрешаться при« бором. Поэтому, как бы ни было велико по размерам изображение, на нем не будут видны соответствующие детали. .Обозначим через  наименьшее угловое расстояние между двумя точками, при котором они еще разрешаются оптическим прибором. Величина, обратная , называется разрешающей силой прибора:

:

Найдем разрешающую силу объектива зрительной трубы или фотоаппарата для случая, когда рассматриваются или фотографируются очень удаленные предметы. При этом условии лучи, идущие в объектив от каждой точки предмета, можно считать параллельными и пользоваться формулой . Согласно критерию Рэлея две близкие точки будут еще разрешены, если середина центрального дифракционного максимума для одной точки совпадет с краем центрального максимума (т. е. первым минимумом) для второй точки.. Из рис.5.13.1, что это произойдет, если угловое расстояние между точками  окажется равным угловому радиусу  центрального максимума. Следовательно,

,  отсюда  

Рис. 5.11.1

где D – диаметр оправы (или входного зрачка)   объектива. Как следует из формулы  разрешающая сила объектива тем больше, чем больше его диаметр.

Определяя направления максимумов, получающихся при дифракции исследуемого рентгеновского излучения от кристаллов с известной структурой, можно вычислить, например, по формуле (   ) длины волн. Первоначально для определения длин волн были использованы кристаллы кубической системы, причем межплоскостные расстояния определя­лись из плотности и молекулярного веса кристалла.

В методе структурного анализа, предложенном Лауэ, пучок рентгеновского излучения со сплошным спектром направляется на неподвижный монокристалл. Для каж­дой системы слоев, достаточно густо усеянных атомами, находится в излучении длина волны, при которой вы­полняется условие ( ). Поэтому на поставленной за кристаллом фотопластинке получается (после проявле­ния) совокупность черных пятнышек.

Рис. 5.11.1

Дифракция наблюдается также на трехмерных структурах, т. е. пространственных образованиях, обнаружи­вающих периодичность по трем не лежащим в одной плоскости направлениям. Подобными структурами яв­ляются все кристаллические тела. Однако период их (~мк) слишком мал для того, чтобы можно было наблюдать дифракцию в види­мом свете. Условие , выполняется в случае кристаллов лишь для рентгеновских лучей. Впервые дифракция рентгеновских лучей от кристаллов наблюдалась в 1913 г. в опыте Лауэ.

Найдем условия образования дифракционных максимумов от трехмерной структуры. Проведем в направлениях , по которым свойства структуры обнаруживают периодичность, координатные оси x, y, z (рис. 5.11.1). Структуру можно представить как совокупность равноотстоящих параллельных линейных цепочек из структурных элементов , расположенных вдоль одной из координатных осей . Рассмотрим действие отдельной линейной цепочки , параллельной , например ,  оси  х (рис. 5.11.2). Пусть на нее падает пучок параллельных лучей , образующих с осью  х угол .Каждый структурный элемент является источником вторичных волн. К соседним источникам падающая волна приходит с разностью фаз ,где   ( – период структуры вдоль оси х ). Кроме того между вторичными волнами , распространяющихся в направлениях, образующих с осью х угол  ( все такие направления лежат вдоль образующих конуса, осью которого служит ось х ), возникает дополнительная разность хода

Рис. 5.11.2

Под действием рентгеновского излучения каждый атом кристаллической решетки становится источником сферических волн той же частоты, что и падающих волн.
Запишем условия Лауэ
.,
.,
,
-угол между падающим пучком и осью y, -угол, образуемый с осью yнаправлениями, вдоль которых получаются дифракционные максимумы.
Уравнения  носят название формул Лауэ. Каждому определяемому этими уравнениями направлению() соответствуют три целочисленных индекса  и  ,  . При рассмотрении дифракции от трехмерной структуры мы не касались вопроса о том, каким образом лучи, идущие от различных  структурных элементов, сводятся в одну точку экрана. В случае дифракции, наблюдаемой в видимом свете, это, как мы знаем, достигается с помощью линзы, в фокальной плоскости которой расположен экран..
Русский ученый Ю. В. Вульф и английские физики У. Г. и У. Л. Брэгги показали независимо друг от друга, что расчет дифракционной картины от кристаллической

Рис. 5.11.3.

решетки можно провести также следующим простым способом.

Проведем через узлы кристаллической решетки параллельные равноотстоящие плоскости (рис.5.11.3.). В дальнейшем мы будем называть их атомными слоями. Если падающая на кристалл волна плоская, огибающая вторичных волн, порождаемых атомами, лежащими в таком слое, также будет представлять собой плоскость. Таким образом, суммарное действие атомов, лежащих в одном слое, можно представить в виде плоской волны, отразившейся от усеянной атомами поверхности по обычным законам отражения. Плоские вторичные волны, отразившиеся от разных атомных слоев, когерентны и будут интерферировать между собой подобно волнам, посылаемым в данном направлении различ­ными щелями дифракционной решетки. При этом, как и  в случае решетки, вторичные волны  будут практически погашать друг друга во всех направлениях, кроме тех, для которых разность хода между соседними волнами является кратной .  Из рис. 5.  видно, что разность хода двух волн,  отразившихся от соседних атомных слоев, равна ,  где d – период идентичности кристалла в направлении, перпендикулярном к рассматриваемым  слоям, - угол, дополнительный к углу падения и называемый углом скольжения падающих лучей. Следовательно, направления, в которых получаются дифракционные максимумы, определяются условием:

Соотношение называется формулой Вульфа – Брэгга.

Заметим, что расчет по формулам Лауэ и расчет по формуле Вульфа – Брэгга приводят к совпадающим результатам.

Дифракционная решетка как одномерная структура

Любая функция времени может быть представлена как совокупность синусоидальных функций времени с различными периодами, амплитудами и фазами. Аналогично, любую пространственную структуру, свойства которой, например коэффициент пропускания, есть функция пространственных координат, можно представить как совокупность синусоидальных структур (теорема Фурье). В частности, если коэффициент пропускания структуры зависит только от одной координаты, например х, то коэффициент пропускания отдельных синусоидальных структур представится в виде где а- амплитуда, d – пространственный период и Ψ – фаза. Непериодическая структура представляется совокупностью синусоидальных структур с непрерывно меняющимся периодом (представление в виде интеграла Фурье). Периодическая структура с периодом d. представится в виде суммы членов ряда, один из которых в общем случае может быть постоянной величиной, а остальные – синусоидальными функциями х с периодом, равным …, т. е. остальные члены будут вида ,        где n=1, 2, 3,..

Характер рассматриваемой структуры определяет значения амплитуд и фаз отдельных синусоидальных членов ряда. Таким образом, дифракцию на сложной структуре можно рассчитать путем рассмотрения дифракции на каждой отдельной компоненте разложения Фурье этой структуры. Постоянный член разложения Фурье дает нулевой максимум, каждый из синусоидальных членов – по два максимума первых порядков (т = ±1). Так как периоды синусоидальных структур различны, то и углы дифракции соответствующих максимумов первого порядка будут различны, и в совокупности получится полная дифракционная картина всей структуры. Например, максимумы третьего порядка (т = ±3) суть максимум первого порядка (т = ±1) на третьей синусоидальной структур период которой равен . Таким образом, для изученной нами одномерной решетки (решетка с коэффициентом пропускания меняющимся только вдоль одной координаты).

Дифракция на двумерных структурах.

Гораздо шире распространен случай, когда коэффициент про пускания пластинки, располагаемой в световом пучке, меняет не вдоль одного направления, а по всей поверхности нашей пластинки. Примером может служить пластинка беспорядочно запыленного стекла или окно, покрытое узорами мороза. Ясно, что такое изменение коэффициента пропускания можно охарактеризовать как изменение по двум координатам нашей поверхности, так что рассматриваемая структура будет двумерной. В простейшем случае это будет двумерная периодическая структура (двумерная решетка), в общем – совокупность многих двумерных решеток.

Рассмотрим двумерную решетку, представляющую собой скрещенные перпендикулярные решетки с периодами и . Подобный случай легко осуществить, поставив непосредственно одну за другой две обыкновенные нарезанные на стеклянных пластинках дифракционные решетки, штрихи которых направлены перпендикулярно друг к другу. Узкий пучок монохроматического света, пройдя через первую решетку с вертикальными штрихами,, должен дать совокупное максимумов (нулевой и максимумы высших порядков) вдоль горизонтальной линии. Световой пучок, соответствующий каждому максимуму, проходя, через  вторую решетку, распадается на новую совокупность световых  пучков, дающих максимумы вдоль вертикальной линии. Пусть свет падает на подобную решетку нормально. Выберем направление света  за  ось Z,   направления  вдоль  решеток – оси X и У, охарактеризуем направления падающего пучка углами  дифрагировавшего – углами. В  нашем случае , т.е., ,, Отклонение дифрагировавшего луча вдоль X приведет к образованию минимумов и максимумов света в зависимости от величины угла дифракции. Применяя теорию одномерной решетки, мы найдем, что положения главных максимумов должны удовлетворять условиям.

Аналогично дифракция в направлении оси У дает главные максимумы в направлениях , определяемых условиями:

Таким образом, из трех условий:

,

где и – целые числа, мы определяем для заданной структуры и для данной длины волны Если решетки с периодами  и не взаимно перпендикулярны, а составляют какой-либо угол между собой, то принципиально рассуждения наши останутся в силе, только геометрические соотношения изменятся. Положение максимумов (пятнышек) будет, конечно, за сеть и от угла между штрихами решеток. Таким образом, по расположению пятнышек можно судить о структуре штриховым поверхности’, о величине периодов и взаимной ориентации решеток.

Если поверхностная структура не периодична, то следует применять для разбора задачи метод Рэлея. Картина  получится более сложной., всевозможно ориентированных решеток (запыленная пластинка, морозные узоры на стекле), то такая структура эквивалентна совокупности простых решеток всех возможных ориентированных, а соответствующая дифракционная картина.

Дифракционные явления на трехмерных структурах.

Наибольший интерес и практическое значение имеет дифракцию на пространственных неоднородностях. В этом случае волна распространяется не в однородной среде, а в среде, в которую включая участки, где скорость волны отличается от скорости в остальных частях среды, т. е. участки с иным показателем преломления. Если среда вполне оптически однородна, т. е. показатель преломления любой небольшой  области равняется показателю преломления другой области, то световая волна будет распространяться в среде без изменения направления.

В частности, плоская волна, распространяясь в такой среде останется плоской.  Если же однородность среды нарушена какими-либо включениями или вследствие какого- либо процессов, т. е. если в среде встречаются области, показателя преломления которых отличается от показателя преломления остальной части, то на таких неоднородностях должны возникнуть дифракционные явления, и часть света дифрагирует, отклонив от своего первоначального направления.

Действительно, части волнового фронта, идущие по области различного показателя преломления, распространяются с разной- скоростью, так что фронт волны, т. е. поверхность одинаковой фазы, перестает быть плоским, и свет будет распространяться различным направлениям.

Рассмотрение дифракции на пространственных неоднородностях любой формы представляет собой очень сложную задачу. Мы ограничимся поэтому простейшим случаем, когда неоднородности имеют правильный периодический характер, т. е. представляют собой то, что мы называем решеткой. Однако в этом случае периодическая структура среды имеет пространственный характер, т. е. решетка тянется по всем направлениям в среде. Мы можем представить ее как совокупность периодических структур по трем координатным направлениям и рассматривать дифракцию плоских волн на такой пространственной трехмерной решетке.

.

Выясним характер дифракционной картины, получающейся на экране при падении на решетку плоской световой волны (для простоты будем считать волновые поверхности параллельными плоскости решетки). Каждая из щелей даст на экране картину, описываемую графиком. Картины от всех щелей придутся на одно и то же место экрана (независимо от положения щели, центральный максимум лежит против центра линзы). Если бы колебания, приходящие в точку Р от различных щелей, были некогерентными, результирующая картина от N щелей отличалась бы от картины, создаваемой одной щелью, лишь тем, что все интенсивности возросли бы в N раз. Однако колебания от различных щелей являются когерентными; поэтому для нахождения результирующей интенсивности нужно найти фазовые соотношения между этими колебаниями.
( k=1,2,3,….)             2
Поэтому и амплитуда результирующего колебания в соответствующей точке экрана будет равна нулю-. Таким образом, условие  минимума для одной щели является также условием минимума для решетки.
Из рис. 3 видно, что разность» хода  лучей от соседних щелей равна . Следовательно, разность фаз

(1)

где λ – длина волны в данной среде.
Для тех направлений, для которых , т. е.

(m=1,2,3,..)     (2)

Формула 2 определяет положения максимумов интенсивности, называемых главными. Число m дает так называемый порядок главного максимума. Максимум нулевого порядка только один, максимумов первого, второго и т. д. порядков бывает по два.
Кроме минимумов, определяемых условием 1, в промежутках между соседними главными максимумами имеется по (N-1)-му добавочному минимуму. Эти минимумы возникают в тех направлениях, для которых колебания от отдельных щелей взаимно погашают друг друга. Направления добавочных минимумов определяются условием:

(3)

(=1, 2, …, N-1, N+1, …, 2N-1,…)

[( принимает все целочисленные значения, кроме О,N, 2N, ..., т. е. кроме тех, при которых условие 3 пе­реходит в 2)]

Явление дифракции на пространственных препятствиях или неоднородностях очень легко наблюдать в тех случаях, когда число таких неоднородностей очень велико, а размеры их незначительны. В таком случае среду принято называть мутной, и явление дифракции носит обычно название рассеяния света. В дальнейшем мы подробнее рассмотрим это явление, особенно для того случая, когда оно не связано с засорением среды посторонними частицами, а является следствием молекулярной структуры среды. Отметим, что для волн обычного света молекулярное строение среды само по себе еще не обусловливает неоднородности, ибо размер молекул в тысячи раз меньше длины световой волны. «Молекулярная мутность» есть результат случайного скопления значительного числа молекул, образующегося при беспорядочном тепловом движении их.

Здесь опущены все множители, не являющиеся на относительное распределение волнового поля по направлениям. Вычислив интеграл, получим

Где введено обозначение

Отсюда для распределения интенсивности света по направлениям найдем

Где - интенсивность в направлении падающей волны. Обе функции обращаются в максимум, равной единице, при a=0. При , где m=1,2 они равны 0. Между двумя соседними минимумами располагаются максимумы различных порядков. Их положения определяются трансцендентным уравнением a cos-sina=0. Практически можно считать, что максимумы располагаются посередине между соседними минимумами.

Рис. 5.7.1.

]]> http://physoptika.ru/difrakciya-sveta/difrakciya-fraungofera-na-shheli.html/feed 0 http://physoptika.ru/difrakciya-sveta/difrakciya-frenelya-na-krayu-poluploskosti-i-na-shheli.html http://physoptika.ru/difrakciya-sveta/difrakciya-frenelya-na-krayu-poluploskosti-i-na-shheli.html#comments Tue, 02 Jun 2009 13:56:16 +0000 evteev http://physoptika.ru/?p=690 Дифракция от прямолинейного края полуплоскости.

Поместим на пути световой волны непрозрачную полуплоскость  с прямолинейным краем. Расположим эту полуплоскость так, чтобы она совпала с одной из волновых поверхностей. На расстоянии b за полуплоскостью поставим параллельный ей экран, на котором возьмем точку Р. Разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны, имеющие вид очень узких прямолинейных полосок, параллельных краю полуплоскости. Ширину зон выберем так, чтобы отсчитанные в плоскости рисунка расстояния от точки Р до краев любой зоны отличались на одинаковую величину ∆. При этом условии колебания, создаваемые в точке Р соединим зонами, будут отличаться по фазе на постоянную величину.

Зонами, расположенным справа от точки Р, припишем номера 1, 2, 3, и т.д., расположенные слева- номерами 1′ 2′ 3′.Зоны с номерами m и m’ имеют одинаковую ширину и расположены относительно точки Р симметрично. Поэтому создаваемые ими в Р колебания совпадают по амплитуде и по фазе.

Рис. 5.6.1. Дифракция от прямолинейного края полуплоскости

Дифракция от щели.

Бесконечно длинную щель можно образовать, расположив рядом две обращенные в разные стороны полуплоскости. Следовательно, задача о дифракции Френеля от щели может быть решена с помощью спирали Корню. Волновую поверхность падающего света, плоскость щели и экран, на котором наблюдается дифракционная картина, будем считать параллельными друг другу (рис 5.6.2.)

Для точки Р, лежащей против середины щели, начало и конец результирующего вектора находятся в симметричных относительно начала координат точках спирали (рис 5.6.3.) Если стремиться в точку Р’, лежащую против края щели, начало результирующего вектора переместиться в середину спирали О.

Конец вектора переместиться по спирали в направлении полюса F1. При углублении в область геометрической тени начало и конец результирующего вектора будут скользить по спирали и в конце концов окажутся на наименьшем расстоянии друг от друга. Интенсивность света достигает при этом минимума. При дальнейшем скольжении по спирали начало и конец вектора снова отойдут друг от друга и интенсивность будет расти. То же самое будет происходить при смещении из точки Р в противоположную сторону, так как дифракционная картина симметрична относительно середины щели.

Если изменить ширину щели, сдвигая полуплоскости в противоположные стороны, интенсивность в средней точке Р будет пульсировать, проходя попеременно через максимумы (рис.5.6.4,а) и отличные от нуля минимумы (рис.5.6.4,б)

Итак, френелевская дифракционная картина от щели представляет собой либо светлую (рис.5.6.4,а), либо относительно темную (рис.5.6.4,б) центральную полосу, по обе стороны которой располагаются симметричные относительно нее чередующиеся темные и светлые полосы.

При большей ширине щели начало и конец результирующего вектора для точки Р лежат на внутренних витках спирали вблизи полос F1  и  F2. Поэтому интенсивность света в точках, расположенных против щели, будет практически постоянной. Только на границах геометрической тени образуется система густо расположенных узких светлых и темных полос.

Таким образом, получаем рекуррентное соотношении,

из которого могут быть найдены все Так как ,то

Ширины последовательных зон Шустера будут

Рис. 5.5.1.

Ширины монотонно убывают и в пределе, когда r® ¥,стремиться к l/2, как это ясно из их построения.(Впрочем высшие зоны не играют роли. Имеют значение не только несколько десятков первых зон Шустера).

Как и в случае зон Френеля, применим теперь графический метод. Каждую зону Шустера разобьем на узкие полоски и будем изображать колебание в точке Р, вносимое отдельной полоской, вектором на векторной диаграмме. Затем перейдем к пределу, устремляя к нулю ширину каждой полоски. В результате чего получится плавная кривая, называемая спиралью Корню (1841-1902). Она состоит из двух симметричных ветвей, бесконечное число раз обвивающихся вокруг «фокусов» F и F’ и неограниченно приближающихся к ним. Верхняя ветвь представляет действие правой половины волнового фронта, нижняя- левой.

Спираль Карно.

Отличие каждой из ветвей от соответствующей спирали обусловлено более быстрым убыванием начальных зон Шустера, чем зон Френеля. Колебание, возбуждаемое первой правой зоной Шустера, изображается вектором АО, второй правой- вектором А2, двумя первыми правыми зонами виесте- вектором 02 и т.д. Колебание, возбуждаемое всем волновым фронтом, представляется вектором F’F, соединяющим фокусы спирали Корню. По мере приближения к фокусам амплитуды колебаний становятся все меньше и меньше и в пределе обращаются в нуль.